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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 2.Exercício - Ex. 5

5.Prove que o oposto de vec u + vec v é - vec u - vec v .

Passo 1

Utilizaremos as propriedades associativas, comutativas, elemento neutro e elemento oposto.

Associativa:

vec u + (vec v + vec w) = (vec u + vec v) + vec w

Comutativa:

(vec u + vec v) = vec v + vec u

Elemento Neutro:

vec u + vec 0 = vec 0 + vec u = vec u

Elemento Oposto:

vec u + (- vec u) = vec 0 = - vec u + vec u

Passo 2

Se - vec u - vec v é o oposto de vec u + vec v , então quando somarmos esse (- vec u - vec v) + (vec u + vec v) isso vai ter que dar o zero vetorial.

Vamos lá, apenas para termos uma igualdade falarei que a soma desses vetores é igual a vetor vec w .

(- vec u - vec v) + (vec u + vec v) = vec w

Aplicando a propriedade associativa, temos:

- vec u + (- vec v + vec u + vec v) = vec w

Usando a comutativa:

- vec u + (vec u - vec v + vec v) = vec w

Pelo elemento neutro, sabemos que - vec v + vec v = vec 0 :

- vec u + (vec u + vec 0) = vec w

Passo 3

Dando prosseguimento no passo 3, temos:

- vec u + vec u = vec w

Pela propriedade do elemento simétrico, temos:

vec 0 = vec w

O que confirma aquilo que estipulamos, o oposto de vec u + vec v é - vec u - vec v , já que a soma desses dois vetores dá o vetor zero!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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