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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 35b

35. Dados os vetores u → = 2 ,   3 ,   - 1 ,   v → = 1 ,   - 1 ,   1 e w → = - 3 ,   4 ,   0 .

b) Encontrar os números a 1 ,   a 2 e a 3 tais que a 1 u → + a 2 v → + a 3 w → = - 2 ,   13 ,   - 5 .

Passo 1

Então galera, o que temos que fazer aqui, basicamente, é manipulação algébrica! Temos a seguinte expressão:

a 1 u → + a 2 v → + a 3 w → = - 2 ,   13 ,   - 5

E a questão nos cede todos esses vetores, certo? Sendo assim, o mais viável a se fazer é substituir os valores dados, se liga:

u → = 2 ,   3 ,   - 1

  v → = 1 ,   - 1 ,   1

w → = - 3 ,   4 ,   0

Então:

a 1 2 ,   3 ,   - 1 + a 2 1 ,   - 1 ,   1 + a 3 - 3 ,   4 ,   0 = - 2 ,   13 ,   - 5

Simplificando:

2 a 1 ,   3 a 1 ,   - a 1 + a 2 ,   - a 2 ,   a 2 + - 3 a 3 ,   4 a 3 ,   0 = - 2 ,   13 ,   - 5

Agora temos que manipular isso aí e criar um sisteminha para descobrirmos a 1 ,   a 2 e a 3 . Bora que bora!

Passo 2

Se somarmos as componentes do lado esquerdo da expressão que escrevemos no passo anterior, teremos:

2 a 1 + a 2 - 3 a 3 ,   3 a 1 - a 2 + 4 a 3 ,   - a 1 + a 2 = - 2 ,   13 ,   - 5

Criando um sisteminha:

2 a 1 + a 2 - 3 a 3 = - 2 ,     ( E q .   I ) 3 a 1 - a 2 + 4 a 3 = 13 ,     ( E q .   I I ) - a 1 + a 2 = - 5 ,     E q .   I I I

Da E q .   I I I conseguimos fazer o seguinte:

- a 1 + a 2 = - 5

a 2 = - 5 + a 1

Substituindo na E q .   I :

2 a 1 + a 2 - 3 a 3 = - 2

2 a 1 + - 5 + a 1 - 3 a 3 = - 2

3 a 1 - 3 a 3 = 3

a 1 - a 3 = 1 ⇒ a 3 = a 1 - 1

Agora substituindo a 2 e a 3 na E q .   I I :

3 a 1 - a 2 + 4 a 3 = 13

3 a 1 - - 5 + a 1 + 4 a 1 - 1 = 13

3 a 1 + 5 - a 1 + 4 a 1 - 4 = 13

6 a 1 = 13 + 4 - 5

a 1 = 12 6

∴ a 1 = 2

Ufa! Foi complicado, mas conseguimos achar a primeira incógnita!

Passo 3

Agora que encontramos a 1 , vamos substituir esse resultado encontrado na E q .   I I I , se liga:

- a 1 + a 2 = - 5

- 2 + a 2 = - 5

∴ a 2 = - 3

Por fim, substituindo a 1 e a 2 na E q .   I :

2 a 1 + a 2 - 3 a 3 = - 2

2.2 - 3 - 3 a 3 = - 2

1 - 3 a 3 = - 2

- 3 a 3 = - 3

∴ a 3 = 1

E esses são os valores das nossas incógnitas, pessoal!

Resposta

a 1 = 2

a 2 = - 3

a 3 = 1

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6) Determne o vetor x → nas figuras:d)
6) Determne o vetor x → nas figuras:c)
Dados três pontos A,B e C não colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor x → nos casos:a) x → = B A → + 2 B C →
Dados três pontos A,B e C não colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor x → nos casos:b) x → = 2 C A → + 2 B A →
Dados três pontos A,B e C não colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor x → nos casos:c) x → = 3 A B → - 2 B C →