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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 20

ABCD é um paralelogramo, | a | →   = 2 e | b | →   = 3 . Determine o coseno do menor ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo.

(Sugestão: A C →   = a →     +   b → ; D B →   =   . . . )

Passo 1

Fala, pessoal! Seguindo a sugestão dada na questão, podemos construir as duas diagonais vistas na figura acima. Pelas operações vetoriais, obtemos que A C →   = a →     +   b → e B D   → =   b →     -   a → .

Para acharmos o cosseno do menor ângulo, temos que notar que ângulos entre dois vetores, precisamos da seguinte fórmula:

c o s   α   =   E C →   ⋅ E D   → | E C → | | E D   → | = B C →   ⋅ B D   → | B C → | | B D   → |   =   ( a →     +   b → )   ⋅ ( b →     -   a → ) | A C → | | B D   → | ,

onde usamos E C → = 1 2 B C → e E D → = 1 2 B D → .

Faremos cada entrada separadamente, deixando mais claro cada conta. Vamos lá:

i) Para ( a →     +   b → )   ⋅ ( b →     -   a → ) :

( a →     +   b → )   ⋅ ( b →     -   a → )   =   a →   ⋅ b →         +     b →   ⋅ b →     -   a →   ⋅ a →     - b →   ⋅ a →     =   | b → | 2   - | a → | 2      

( a →     +   b → )   ⋅ ( b →     -   a → )   =   ( 3 ) 2   - ( 2 ) 2   = 9   -   4   =   5 ,

onde utilizamos as propriedades de produto escalar: x →   ⋅ y →   =   y →   ⋅ x → e x →   ⋅ x →   =   | x → | 2 e que | a | →   = 2 e de | b | →   = 3 , dados na questão.

ii) Para | A C → | | B D → | :

Temos que

| A C → |   =   A C → ⋅ A C →   =   ( a →     +   b → )   ⋅ ( a →     +   b → )   = | a → | 2 + 2 a →   ⋅ b →   + | b → | 2  

e que

| B D → |   =   B D → ⋅ B D →   =   ( a →     -   b → )   ⋅ ( a →     -   b → )   = | a → | 2 - 2 a →   ⋅ b →   + | b → | 2  

Mas, antes de substituir os valores de | a | →   = 2 e | b | →   = 3 , dados na questão. Precisamos lembrar que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é de 360 ° e isso implica que o ângulo entre os vetores a →     e   b → será de 60 ° . Com essa informação, chegamos ao fato de que:

a →   ⋅ b →   = | a → | | b → | .   c o s   60 °     =   2 ⋅ 3 ⋅ 1 2   ⇒ a →   ⋅ b →   = 3   .

Logo, vem que:

| A C → |   = | a → | 2 + 2 a →   ⋅ b →   + | b → | 2   = 2 2 + 2 ⋅ 3   + 3 2   = 4 + 6   + 9   = 19

| B D → |   = | a → | 2 - 2 a →   ⋅ b →   + | b → | 2   = 2 2 - 2 ⋅ 3   + 3 2   = 4 - 6   + 9   = 7

Por fim, tomando os valores do item i) e do item ii), descobriremos que o ângulo entre as diagonais será:

c o s   α   =   ( a →     +   b → )   ⋅ ( a →     -   b → ) | A C → | | B D   → |   =   5 19   7   =   5 133  

c o s   α   =   5 133   .

Resposta

c o s   α   =   5 133   .

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:c)(vec u xx vec w) + ( vec w xx vec u )
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:e) (vec u - vec v) xx vec w
Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:| vec u xx vec u |