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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 30

Dadas as retas r :   x - 1   =   y - 3 - 1 = z + 1 e

      ⎧   x   = - λ

  s   ⎢   y   = 1   + λ

      ⎩   z   = 1 +   2 λ ,

escreva equações paramétricas da reta t , concorrente com r e s e paralela ao vetor   ( - 2,1 , 1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Antes de mais nada, vamos escrever a primeira reta r :   x - 1   =   y - 3 - 1 = z + 1 = η na forma paramétrica:

x - 1   = η ⇒ x = η + 1

  y - 3 - 1 = η ⇒ y - 3 = - η ⇒ y = 3 - η

z + 1 = η ⇒ z = η - 1

Então, temos a seguinte reta paramétrica: R   =   ( η + 1,3 - η , η - 1 ) . Para a segunda reta paramétrica temos que S   =   (   - λ , 1   +   λ , 1   + 2 λ )

A reta t que procuramos pode ser escrita como

x = x 0 + l t

y = y 0 + m t

z = z 0 + n t

com o seu vetor diretor v → = ( l , m , n ) . Como essa reta é paralela a ( - 2,1 , 1 ) , podemos identificar v → = ( l , m , n ) = ( - 2,1 , 1 ) . Assim,

x = x 0 - 2 t

y = y 0 + t

z = z 0 + t

ou seja, temos t   =   ( x 0 - 2 t , y 0 + t , z 0 + t ) e precisamos determinar o ponto P   = ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

Passo 2

Temos o seguinte ponto na primeira reta: R   =   ( η + 1,3 - η , η - 1 ) . Para a segunda reta paramétrica temos que S   =   (   - λ , 1   +   λ , 1   + 2 λ ) . Pelo fato de t ser concorrente a R e a S , e sabermos quem é o vetor diretor, temos que S R →   = α   ( - 2,1 , 1 ) . Assim:

S   - R   = α   ( - 2,1 , 1 )   ⇒     ( η + 1,3 - η , η - 1 )   -   (   - λ , 1   +   λ , 1   + 2 λ )   = α   ( - 2,1 , 1 )  

⇒     ( η + 1 + λ , 2 - η - λ , η - 2   - 2 λ )   = α   ( - 2,1 , 1 )

chegando ao seguinte sistema:

η + 1 + λ   =   - 2 α

2 - η - λ   =   α

η - 2   - 2 λ   =   α

Somando a segunda equação com a terceira, temos:

2 - η - λ +   ( η - 2   - 2 λ )   =   α + α   ⇒ - 3 λ   =   2   α ⇒ λ   = -   2 3 α  

Substituindo o resultado acima na primeira equação:

η + 1 + ( - 2 3 α )   =   - 2   α ⇒   η   =   - 2   α - 1 + 2 3 α   = ⇒ η = - 1 - 4 3 α  

Substituindo os dois resultados na segunda equação, obtemos:

2 - η - λ   =   α ⇒ 2 + 1 + 4 3 α +   2 3 α = α ⇒ α = 2 α + 3 ⇒ α = - 3

Agora, sabemos que λ   = 2 e η = - 1 - 4 3 α = 3

Daí, temos que R   =   ( η + 1,3 - η , η - 1 )   =   ( 4,0 , 2 )   e S   =   (   - λ , 1   +   λ , 1   + 2 λ )   =   ( - 2 ,   3 ,   5 )   , com

S R →   =   S   - R   = ( 4,0 , 2 )   -     ( - 2 ,   3 ,   5 )   =   ( 6 , - 3   , - 3 )   =   ( - 3 ) ⋅ ( - 2,1 , 1 )  

Como S R →   = - 3 ( - 2,1 , 1 ) , então R S →   = 3 ( - 2,1 , 1 ) , ou seja, a reta t começa no ponto R e vai até o ponto S . Sendo assim, quando t = 0 , devemos ter

x = x 0 = 4

y = y 0 = 0

z = z 0 = 2

Por fim, chegamos ao resultado final da equação paramétrica

x = 4 - 2 t

y = t

z = 2 + t

Resposta

x = 4 - 2 t ,   y = t ,   z = 2 + t

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