É dado um triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que X B → = 4   X A → . Sejam A B → = b → e A C → = c →

  1. Determine o vetor C X → em função de b → e c → .
  2. Seja M o ponto médio de   C X → . Escreva B M → em função de b → e c → .

Passo 1

Fala, galera! Prontos para resolver mais uma questão? Essa questão parece complicada, mas tem um pulo do gato. O enunciado diz que o ponto X é posicionado sobre a reta AB de tal forma que X B → = 4   X A → . Isso quer dizer que os dois vetores estão na mesma direção e sentido. Vamos começar desenhando um triângulo genérico para facilitar a visualização:

Se o ponto X estivesse entre A e B, teríamos na verdade algo como X B → = 4   A X → . Percebeu a diferença? Não? Não tem problema. Como o vetor X B → sai de X e vai até B, o vetor A B → sai de X e vai até A e os dois têm o mesmo sentido, então o ponto X não pode estar dentro do triângulo. Veja só a figura abaixo:

Ficou claro agora? Ótimo! Vamos continuar. A partir da figura acima, vemos que o vetor X B → é a soma dos vetores X A → e   A B → , ou seja

X B → = X A → + A B → ⇒ A B → = X B → - X A → = 4 X A → - X A → = 3 X A →   ⇒ X A → = 1 3 A B → = 1 3 b →

Passo 2

  1. Calma que o passo anterior foi só um aquecimento. Agora vamos realmente começar a resolver a questão. Na figura seguinte, podemos ver que é possível ir de C a X diretamente (o que corresponde ao vetor C X → ) ou ir de C a A (o que corresponde ao vetor C A → = - A C → = - c → ) e depois de A a X (o que corresponde ao vetor A X → = - X A → = - 1 3 b → ). Então, isso quer dizer que
  2.   C X → = C A → + A X → = - 1 3 b → - c →

    Passo 3

  3. O ponto M é o ponto médio de   C X → , então desenhamos o vetor B M → na figura do triângulo. Você provavelmente deve lembrar do Exercício Resolvido 3 a propriedade de que B M → = 1 2 B X → + 1 2 B C → . Agora, só precisamos escrever B X → e B C → em termos de b → e c → . No passo 1, vimos que X A → = 1 3 b → . Então,

B X → = - X B → = - 4 X A → = - 4 3 b →

A partir da figura, conseguimos identificar que

B C → = B X → + X C → = B X → - C X →

Assim, usando os resultados dos passos anteriores, obtemos

B M → = 1 2 B X → + 1 2 B C → = 1 2 B X → + 1 2 ( B X → - C X → ) = B X → - 1 2 C X → = - 4 3 b → - 1 2 ( - 1 3 b → - c → ) = ( - 8 + 1 ) 6 b → + 1 2 c →

B M → = ( - 8 + 1 ) 6 b → + 1 2 c → = - 7 6 b → + 1 2 c →

Resposta

  1. C X → = - 1 3 b → - c →
  2. B M → = - 7 6 b → + 1 2 c →

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