Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 8b
Achar a distância da origem a cada um dos planos
b)
Passo 1
O primeiro passo aqui é encontrarmos uma equação geral para o plano ok? Para isso, precisamos encontrar um vetor normal dele. Vamos lembrar que o produto vetorial sempre resultará em um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, então, fazendo o produto vetorial entre vetores diretores do plano, obteremos um vetor ortogonal a ele, ou seja, ou vetor normal.
Pela equação de dada no enunciado, vemos que seus vetores diretores são e , então, um vetor normal do nosso plano será dado por:
Então, o plano pode ser escrito assim:
Passo 2
Agora precisamos encontrar o da equação do plano. Para isso, vamos substituir um ponto do plano na equação que encontramos. Pela equação dada no enunciado, vemos que o ponto pertence ao plano, então podemos escrever
Logo, a equação geral do nosso plano é
Que multiplicando tudo por é a mesma coisa que
Passo 3
A distância entre um ponto e um plano é dada por
No nosso caso, (pois estamos falando da origem) e , logo:
Então, a distância entre o ponto e o plano é