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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 20

  1. Dê equações da reta r que passa pelo ponto P   = ( 2 , - 2,3 ) e é perpendicular ao plano π   :   x   - y   + 3 z   - 2   = 0 .
  2. Calcule a interseção de r como plano π .
  3. Calcule a distância de P a π .

Passo 1

  1. Fala, pessoal! Vamos começar determinando a equação de uma reta r qualquer:

    2. x   =   x 0 + l t

    y   =   y 0 + m t

    z   =   z 0 + n t

    ou seja, um ponto na reta r será da seguinte forma: R   =   ( x 0 + l t , y 0 + m t   , z 0 + n t ) e seu vetor diretor v → r será dado por v → r   =   ( l , m , n ) .

    Como essa reta é perpendicular ao plano π   :   x   - y   + 3 z   - 2   = 0 podemos utilizar da seguinte condição: Haverá um vetor n → perpendicular ao plano π   :   x   - y   + 3 z   - 2   = 0 e, por comparação, temos que n →   =   ( 1 , - 1,3 ) . Assim, o vetor diretor v → r será paralelo ao vetor normal ao plano π e terá o mesmo sentido. Logo, temos que v → r   =   ( 1 , - 1,3 ) .

    Outro fator que devemos considerar é que a reta desejada passa pelo ponto P   = ( 2 , - 2,3 ) . Então, podemos considerar que   x 0   =   2 ,   y 0 = - 2 e z 0 = 3 . Logo, ficamos com a seguinte equação da reta:

    R   =   ( 2 + t , - 2 - t   , 3 + 3 t ) ,

    onde x   =   2 + t , y   =   - 2   - t , z   = 3   + 3 t .

    Passo 2

  2. A interseção da reta R   =   ( 2 + t , - 2 - t   , 3 + 3 t ) com o plano x   - y   + 3 z   - 2   = 0 acontecerá em um ponto para t   ≠   0 . Daí, podemos comparar as duas equações:

    3. x :   2 + t   =   1   ⇒   t   =   - 1

    y :   - 2 - t   =   - 1   ⇒   t   =   1 - 2   =   - 1

    ou seja, ocorrerá em t   =   - 1 . Daí, temos que o ponto será

    ( 2 - 1 , - 2 - ( - 1 )   , 3 + 3 ( - 1 )   )   =   ( 1 , - 1,0 )

    Passo 3

  3. a distância entre o ponto P   = ( 2 , - 2,3 ) e o plano π   :   x   - y   + 3 z   - 2   = 0 será dada pela seguinte equação:

D   = | a x 0     +   b y 0   +   c z 0   +   d | a 2   + b 2 + c 2 ,

substituindo os valores temos

D   = | 1 ⋅ 2   +   ( - 1 ) ⋅ ( - 2 )   +   3 ⋅ ( 3 )   + ( - 2 ) | 1 2   + ( - 1 ) 2   + 3 2   = | 2   +   2   +   9   - 2 | 1   + 1 + 9   =   11 11 11 11   = 11   .

Resposta

  1. x   =   2 + t , y   = - 2   - t , z   = 3   + 3 t ;
  2. ( 1 , - 1,0 ) ;
  3. 11 .

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6.1.2. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do planoπ : x = 2 e do ponto P= (−2, 0, 0). Que conjunto e este?
Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam 3 do ponto (1, 1, 1).
Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π
Mostre que a distância de um ponto P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) a um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 é d i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) .
Determine o ponto Q simétrico do ponto P = ( 3 , - 4 , - 6 ) em relação ao plano determinado pelos pontos A = - 6,1 , - 5 , B = ( 7 , - 2 , - 1 ) e C = 10 , - 7,1 .