d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π .

Passo 1

Seja A a interseção do eixo z com o plano z = 2:

A = (0, 0, 2)

A altura desejada pode ser tomada como o vetor A P → , sendo P um ponto do plano no qual ele é interceptado pela reta ortogonal ao plano e que passa pelo ponto A. A partir disso, podemos, ainda, calcular a altura desejada como a distância entre o plano e o ponto A.

A equação do plano é tal que:

π = 2 x + 2 y - z = 0

De onde podemos descobrir o vetor normal:

N 1 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Passo 2

A distância entre o plano π e o ponto A é tal que:

d i s t =   O A → ∙ N 1 N 1

Passo 3

Calculando o módulo do produto escalar:

O A → ∙ N 1 = 0 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 2 ∙ - 1 = 0 + 0 - 2 = 2

Calculando, agora, a norma do vetor normal ao plano:

N 1 = 2 2 + 2 2 + ( - 1 ) 2 = 4 + 4 + 1 = 9 = 3

Aplicando na fórmula:

d i s t =   O A → ∙ N 1 N 1 = 2 3

Resposta

A altura do tetraedro é 2 3 .

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