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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 19d

d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π .

Passo 1

Seja A a interseção do eixo z com o plano z = 2:

A = (0, 0, 2)

A altura desejada pode ser tomada como o vetor A P → , sendo P um ponto do plano no qual ele é interceptado pela reta ortogonal ao plano e que passa pelo ponto A. A partir disso, podemos, ainda, calcular a altura desejada como a distância entre o plano e o ponto A.

A equação do plano é tal que:

π = 2 x + 2 y - z = 0

De onde podemos descobrir o vetor normal:

N 1 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Passo 2

A distância entre o plano π e o ponto A é tal que:

d i s t =   O A → ∙ N 1 N 1

Passo 3

Calculando o módulo do produto escalar:

O A → ∙ N 1 = 0 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 2 ∙ - 1 = 0 + 0 - 2 = 2

Calculando, agora, a norma do vetor normal ao plano:

N 1 = 2 2 + 2 2 + ( - 1 ) 2 = 4 + 4 + 1 = 9 = 3

Aplicando na fórmula:

d i s t =   O A → ∙ N 1 N 1 = 2 3

Resposta

A altura do tetraedro é 2 3 .

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Achar a distância do ponto P ao plano pi nos casos:P (0 , 0 , 0) pi : 3 x - 4 y + 20 = 0
Calcular a distância entre os planos paralelospi_1 : x + y + z = 4 pi_2 : 2 x + 2 y + 2 z = 5
Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:A distância de P ao plano π .
O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:C) o volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados
O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:b) a altura desse triangulo relativa à base que está no plano xOz