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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 20a

Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas.

  1. r 1 :   x = 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t ,     t ∈ R

r 2 :   x + 1 = y - 1 2 = z + 2 3

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Pra começar, vamos escrever r 2 na forma paramétrica, que é a forma que vamos utilizar:

r 2 :   x + 1 = y - 1 2 = z + 2 3

s = x + 1 → x = s - 1

s = y - 1 2 → y = 2 s + 1

s = z + 2 3 → z = 3 s - 2

Beleza! Agora podemos escrever pontos genéricos pertencentes a r 1   e   r 2 , que podemos denotar como:

P r 1 = 1 + t ,   2 + 3 t ,   4 t

P r 2 = s - 1 ,   2 s + 1 ,   3 s - 2

Passo 2

Agora olha só: o vetor P r 1 P r 2 → liga qualquer ponto de r 1 a r 2 . E esse vetor é:

P r 1 P r 2 → = - 2 + t + s ,   - 1 + 3 t + 2 s ,   - 2 - 4 t + 3 s

Queremos que esse vetor seja perpendicular ao vetor de r 1 : 1,3 , 4     e   r 2 : 1,2 , 3   ao mesmo tempo. Para isso, o produto interno entre eles tem que ser zero.

Então, iremos resolver:

P r 1 ⋅ 1,3 , 4 :   - 15 - 29 t + 20 s = 0 P r 2 ⋅ 1,2 , 3 :   - 10 - 20 t + 14 s = 0

Vamos resolver esse sistema então!

Passo 3

Resolvendo o sistema...

- 15 - 29 t + 20 s = 0 - 10 - 20 t + 14 s = 0

- 29 t + 20 s = 15 - 10 t + 7 s = 5

s = 15 + 29 t 20

- 10 t + 7 15 + 29 t 20 = 5

t = - 5 3

s = 15 + 29 - 5 3 20 =   - 5 3

Passo 4

Substituindo esses valores nos pontos e no vetor lá de cima, temos:

P r 1 P r 2 → = - 2 - 5 3 - 5 3 ,   - 1 + 3 - 5 3 + 2 - 5 3 ,   - 2 - 4 - 5 3 + 3 - 5 3

= - 16 3 , 2 3 , - 1 3  

Esse é o vetor da reta procurada.

Podemos considerar então que ela passa pelo ponto P r 1 = 1 + t ,   2 + 3 t ,   4 t = 1 - 5 3 ,   2 + 3 - 5 3 ,   4 - 5 3 = - 2 3 ,   - 3 ,   - 20 3 .

A reta procurada então é:

x = - 2 3 - 16 3 t y =   - 3 + 2 3 t z = - 20 3 - 1 3 t             t ∈ R

Resposta

x = - 2 3 - 16 3 t y =   - 3 + 2 3 t z = - 20 3 - 1 3 t             t ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

23. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas r : y = 2 x + 3 z = 3 x - 1 e s : x - 1 2 = y - 1 = z m r : x = - 1 y = - 3 e s : y = 4 x - m z = x r : x - m m = y - 4 - 3 ; z =
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:d) A 0 , 0,0 ; B ( 0,1 , 0 ) .
Dada a reta x = 2 + t y = 3 - t z = - 4 + 2 t Determinar o ponto r tal que c) a cota seja o quádruplo da abscissa.
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:b) A 3,1 , 4 ; B ( 3 , - 2,2 ) .
Dada a reta x = 2 + t y = 3 - t z = - 4 + 2 t Determinar o ponto r tal que A ordenada seja 6 .