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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 15

Sejam r e s retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0) e por C = (−3, 1, −4) e D = (−1, 2, −7), respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V = (1, −5, −1).

Passo 1

Essa tem muita informação!

Mas vamos por partes. Primeiramente, vamos escrever essas retas.

A que passa por A e B:

A B → = ( 1,0 , 0 )

r :   x = t y = 1 z = 0   ,     t ∈ R

A que passa por C   e   D :

C D → = 2,1 , - 3

s :   x = - 3 + 2 s y = 1 + s z = 4 - 3 s ,     s ∈   R

Passo 2

A gente pode escrever então um ponto genérico de r como P r = t , 1,0 e um de s como P s = - 3 + 2 s ,   1 + s ,   4 - 3 s .

Queremos uma reta que seja concorrente a essas duas retas e seja paralelo ao vetor V = 1 , - 5 , - 1 .

Para isso, precisamos encontrar pontos P r     e   P s de forma que:

P s P r → = α V

Calculando esse vetor, temos que isso equivale a:

t - 2 s + 3 ,   - s ,   3 s + 4 = α ,   - 5 α ,   - α

Passo 3

Escrevendo isso na forma de um sistema, temos:

t - 2 s - α = - 3 - s + 5 a = 0 3 s + α = - 4

Vamos escalonar esse sistema em forma de matriz:

1 - 2 - 1 0 - 1 5 0 3 1     - 3 0 4 →   L 2 ⋅ ( - 1 )

1 - 2 - 1 0 1 - 5 0 3 1     - 3 0 4 → L 1 + 2 L 2     e   L 3 - 3 L 2

1 0 - 1 1 0 1 - 5 0 0 16     - 3 0 - 4 → 1 16 L 3

1 0 - 11 0 1 - 5 0 0 1     - 3 0 - 1 / 4 →   L 1 + 11 L 3     e   L 2 + 5 L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1     - 23 / 4 - 5 / 4 - 1 / 4

Passo 4

Ficamos então com:

t = - 23 4 s = - 5 4 α = - 1 4

Substituindo o valor de t em: P r = t , 1,0 , temos o ponto - 23 4 , 1,0 , que pertence à reta procurada.

Temos então um ponto e o vetor a questão já nos deu. A reta então é:

x = - 23 4 + u y = 1 - 5 u z = - u   ,       u ∈ R

Resposta

x = - 23 4 + u y = 1 - 5 u z = - u   ,       u ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Com base na Figura 5.14, escrever equações paramétricas da reta:b) C e D .
Seja o triângulo de vértices A ( - 1 ,4 ,- 2 ) , B ( 3 ,- 3 ,6 ) e C ( 2 ,- 1 ,4 ) . Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio de lado A B e pelo vértice oposto C .
Os pontos M 1 ( 2 , - 1,3 ) , M 2 ( 1 , - 3,0 ) e M 3 ( 2,1 , - 5 ) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M 1 .
Os vértices de um triângulo são os pontos A ( - 1 ,1 ,3 ) , B ( 2 ,1 ,4 ) e C ( 3 ,- 1 ,- 1 ) . Obter equações paramétricas dos lados A B , A C e B C , e da reta r que contém a mediana relativa ao vér
O ponto P ( m ,1 ,n ) pertence à reta que passa por A ( 3 ,- 1 ,4 ) e B ( 4 ,- 3 ,- 1 ) . Determinar P .