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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : R 4 → R 4 tal que T x , y , z , w = x , x + y , x + y + z , x + y + z + w .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

T 1,0 , 0,0 = 1,1 , 1,1 = 1 1,0 , 0,0 + 1 0,1 , 0,0 + 1 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

T 0 , 1 , 0,0 = 0 , 1 , 1 , 1 = 0 1,0 , 0,0 + 1 0,1 , 0,0 + 1 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

T 0 , 0 , 1 , 0 = 0 , 0 , 1,1 = 0 1,0 , 0,0 + 0 0,1 , 0,0 + 1 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

T 0 , 0,0 , 1 = 0 , 0 , 0 , 1 = 0 1,0 , 0,0 + 0 0,1 , 0,0 + 0 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

Temos:

T = 1 1 1 1       0 1 1 1       0 0 1 1       0 0 0 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

1 - λ 1 1 1       0 1 - λ 1 1       0 0 1 - λ 1       0 0 0 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 1 - λ 1 - λ = 0

λ 1 = 1

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = 1 :

1 1 1 1       0 1 1 1       0 0 1 1       0 0 0 1 x y z w = 1 x y z w

x = x = 0

x + y = y = 0

x + y + z = z = 0

x + y + z + w = w

Logo:

0 , 0 , 0 , w = w 0,0 , 0,1

O autovetor:

v 1 = 0,0 , 0,1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V 1 = 0,0 , 0,1 , quando λ = 1 .

Resposta

v 1 = 0,0 , 0,1   p a r a   λ = 1  

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Se p t = a 0 + a 1 t + … + a n t n é um polinômio e A e uma matriz nxn , definimos a matriz p A = a 0 I n + a 1 A + … + a n A n . Seja p ( t ) o polinômio característico da matriz A , então p A = 0
Seja V um espaço vetorial real. Seja V C a complexificação de V , ou seja, e o conjunto das expressões V + i W , em que V , W ∈ V e i = - 1 . Em V C ,V + i W = V ' + i W ' significa V = V 'eW = W ' .
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) ⎜1 1 ⎜⎜ ⎜ ⎜1 1 ⎜⎜ ⎜b) ⎜1 - 1 ⎜⎜ ⎜ ⎜24
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:(d) ⎜100 ⎜⎜ ⎜ ⎜ - 1 30⎜⎜ ⎜ ⎜32- 2⎜⎜ ⎜(e)
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T x = A X , para todo x ∈ R n , para cada matriz:a) 1 1 1 1