Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : R 4 → R 4 tal que T x , y , z , w = x , x + y , x + y + z , x + y + z + w .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

T 1,0 , 0,0 = 1,1 , 1,1 = 1 1,0 , 0,0 + 1 0,1 , 0,0 + 1 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

T 0 , 1 , 0,0 = 0 , 1 , 1 , 1 = 0 1,0 , 0,0 + 1 0,1 , 0,0 + 1 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

T 0 , 0 , 1 , 0 = 0 , 0 , 1,1 = 0 1,0 , 0,0 + 0 0,1 , 0,0 + 1 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

T 0 , 0,0 , 1 = 0 , 0 , 0 , 1 = 0 1,0 , 0,0 + 0 0,1 , 0,0 + 0 0,0 , 1,0 + 1 0,0 , 0,1

Temos:

T = 1 1 1 1       0 1 1 1       0 0 1 1       0 0 0 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

1 - λ 1 1 1       0 1 - λ 1 1       0 0 1 - λ 1       0 0 0 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 1 - λ 1 - λ = 0

λ 1 = 1

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = 1 :

1 1 1 1       0 1 1 1       0 0 1 1       0 0 0 1 x y z w = 1 x y z w

x = x = 0

x + y = y = 0

x + y + z = z = 0

x + y + z + w = w

Logo:

0 , 0 , 0 , w = w 0,0 , 0,1

O autovetor:

v 1 = 0,0 , 0,1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V 1 = 0,0 , 0,1 , quando λ = 1 .

Resposta

v 1 = 0,0 , 0,1   p a r a   λ = 1  

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