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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 1abc

Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:

a)

⎜   1                 1     ⎜

⎜   1                 1     ⎜

b)

⎜   1                 - 1     ⎜

⎜   2                           4         ⎜

(c)

⎜   0                 1                 2   ⎜

⎜   0                 0                 3   ⎜

⎜   0                 0                 0   ⎜

Passo 1

Fala, galera! Bom, indo bem direto ao ponto, para calcular o polinômio característico da matriz é preciso o d e t ( A - t I ) . Depois, resolvemos para t e usamos os valores para encontrar os autovetores. Vamos lá!

(a) Temos

A - t I =

⎜   1 - t                               1               ⎜

⎜               1                           1   - t     ⎜

Então,

d e t ( A - t I ) = 0 ⇒ ( 1 - t ) 2 - 1 = 0

⇒ t 2 - 2 t = 0

⇒ t ( t - 2 ) = 0

⇒ t = 2 , t = 0

Assim, t = 2 , t = 0 são os autovalores. Para conseguir os autovetores, precisamos calcular A X = t X . Logo, para t = 0 :

⎜   1                 1     ⎜ ⎜ x   ⎜ = ⎜ x + y   ⎜ = ⎜ 0   ⎜

⎜   1                 1     ⎜ ⎜ y   ⎜               ⎜ x + y   ⎜               ⎜ 0   ⎜

Ou seja, x = - y . Então, ( - x , x ) é o autovalor associado a t = 0 . Para t = 2 , temos

⎜ x + y ⎜ = ⎜ 2 x ⎜

⎜ x + y ⎜               ⎜ 2 y ⎜

Então, x + y = 2 x . Assim, ( x , x ) é o autovalor associado a t = 2 .

Passo 2

(b) Para esse item é exatamente o mesmo raciocínio, então vamos continuar:

A - t I =

⎜   1 - t                 - 1             ⎜

⎜             2                           4 - t       ⎜

Então,

d e t ( A - t I ) = 0 ⇒ ( 1 - t ) ( 4 - t ) + 2 = 0 ⇒ t 2 - 5 t + 6 = 0 ⇒ ( t - 2 ) ( t - 3 ) = 0

⇒ t = 2 ,   t = 3

Para t = 2 , temos

⎜   1                 - 1     ⎜   ⎜ x   ⎜ = ⎜       x - y       ⎜ = ⎜ 2 x   ⎜

⎜   2                           4         ⎜   ⎜ y   ⎜               ⎜ 2 x + 4 y   ⎜               ⎜ 2 y   ⎜

Assim,     x - y   = 2 x ⇒ x = - y . Então, ( - x , x ) é o autovalor associado a t = 2 . Para t = 3 , temos x - y = 3 x ⇒ - y = 2 x . Logo, ( - x , 2 x ) é o autovalor associado a t = 3 .

Passo 3

(c)Continuando aqui, temos

A - t I =

⎜ - t                     1                   2     ⎜

⎜             0       - t                     3     ⎜

⎜             0                     0       - t     ⎜

Então,

d e t ( A - t I ) = 0 ⇒ - t 3 = 0 ⇒ t = 0

Só temos um autovalor: t = 0 . Nesse caso, ficamos com

⎜   0                 1                 2   ⎜ ⎜ x   ⎜                       ⎜ y + 2 z   ⎜                 ⎜ 0   ⎜

⎜   0                 0                 3   ⎜ ⎜ y   ⎜     =     ⎜         3 z             ⎜   = ⎜ 0   ⎜

⎜   0                 0                 0   ⎜ ⎜ z   ⎜                       ⎜           0                 ⎜                 ⎜ 0   ⎜

Então, temos 3 z = 0 ⇒ z = 0 e y + 2 z = 0 ⇒ y = 0 . Mas não temos nenhuma restrição para x . Assim, ( x , 0,0 ) é o autovetor que queremos.

Resposta

(a) t 2 - 2 t = 0 , t = 2 , t = 0 , ( - x , x ) e ( x , x ) .

(b) t 2 - 5 t + 6 = 0 , t = 2 ,   t = 3 , ( - x , x ) e ( - x , 2 x ) .

(c) - t 3 = 0 ,   t = 0 , ( x , 0,0 ) .

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