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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 1def

Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador T : R n → R n , definido por T ( X ) = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:

(d)

⎜           1                           0                           0     ⎜

⎜ - 1                     3                           0       ⎜

⎜           3                           2               - 2   ⎜

(e)

⎜   2                 - 2                     3     ⎜

⎜   0                           3             - 2   ⎜

⎜   0                 - 1                   2       ⎜

(f)

⎜   2                         2                     3     ⎜

⎜   1                         2                     1     ⎜

⎜   2               - 2                 1     ⎜

Passo 1

Fala, galerinha! Vamos continuar essa questão? Você já sabe o procedimento, então vamos lá!

(d)Temos

A - t I =

⎜ 1 - t                           0                                           0             ⎜

⎜ - 1                     3 - t                                   0             ⎜

⎜           3                                   2                     - 2 - t   ⎜

Então,

d e t ( A - t I ) = 0 ⇒ ( 1 - t ) ( 3 - t ) ( - 2 - t ) = 0 ⇒ t = 1 , t = 3 ,   t = - 2

⇒ - t 3 + 2 t 2 + 5 t - 6 = 0

Beleza, agora vamos ver esses autovetores:

⎜           1                           0                           0     ⎜ ⎜ x ⎜ = ⎜                                 x                         ⎜

⎜ - 1                     3                           0       ⎜ ⎜ y ⎜               ⎜     - x + 3 y             ⎜

⎜           3                           2               - 2   ⎜ ⎜ z ⎜               ⎜ 3 x + 2 y - 2 z ⎜

Para t = 1 , temos que ter A X = X . Então, x = x , ok, - x + 3 y = y ⇒ x = 2 y e 3 x + 2 y - 2 z = z ⇒ 6 y + 2 y = z + 2 z ⇒ 3 z = 8 y . Assim, ( 6 m , 3 m , 8 m ) é o autovetor para t = 1 .

Para t = 3 , temos A X = 3 X . Assim, x = 3 x ⇒ x = 0 , - x + 3 y = 3 y ⇒ x = 0 e 3 x + 2 y - 2 z = 3 z ⇒ 2 y = 5 z . Então, ( 0,5 m , 2 m ) é o autovetor para t = 1 .

Para t = - 2 , temos A X = - 2 X . Assim, x = - 2 x ⇒ x = 0 , - x + 3 y = - 2 y ⇒ x = 5 y e 3 x + 2 y - 2 z = - 2 z ⇒ 15 y + 2 y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 0 . Então, ( 0,0 , m ) é o autovetor para t = - 2 .

Passo 2

(e) Temos

A - t I =

⎜   2 - t                 - 2                                 3               ⎜

⎜             0                           3 - t                 - 2           ⎜

⎜             0                         - 1                       2 - t       ⎜

Então,

d e t ( A - t I ) = 0 ⇒ ( 2 - t ) [ ( 3 - t ) ( 2 - t ) - 2 ] = 0 ⇒ t = 2 , t 2 - 5 t + 4 = 0

⇒ t = 2 , t = 1 , t = 4

O polinômio característico é

( 2 - t ) [ ( 3 - t ) ( 2 - t ) - 2 ] = 0 ⇒ - t 3 + 7 t 2 - 14 t + 8 = 0

Agora, vamos procurar os autovetores:

⎜   2                 - 2                     3     ⎜ ⎜ x ⎜ = ⎜   2 x - 2 y + 3 z     ⎜

⎜   0                           3             - 2   ⎜ ⎜ y ⎜                 ⎜               3 y - 2 z                   ⎜

⎜   0                 - 1                   2       ⎜ ⎜ z ⎜                 ⎜         - y + 2 z               ⎜

Para t = 1 , temos

2 x - 2 y + 3 z = x

3 y - 2 z = y ⇒ 2 y = 2 z ⇒ y = z

- y + 2 z = z ⇒ z = z

Usando y = z na primeira equação, ficamos com x + z = 0 ⇒ x = - z . Assim, temos o autovetor ( - m , m , m ) para t = 1 .

Para t = 2 , temos

2 x - 2 y + 3 z = 2 x ⇒ 2 y = 3 z

3 y - 2 z = 2 y ⇒ y = 2 z

- y + 2 z = 2 z ⇒ y = 0 ⇒ z = 0

Então, ( m , 0,0 ) é o autovetor para t = 2 .

Para t = 4 , temos

2 x - 2 y + 3 z = 4 x

3 y - 2 z = 4 y ⇒ y = - 2 z

- y + 2 z = 4 z ⇒ - y = 2 z

Substituindo y = - 2 z na primeira equação, ficamos com 2 x - 2 y + 3 z = 4 x ⇒ 7 z = 2 x

Então, ( 7 m , - 4 m , 2 m ) é o autovetor para t = 4 .

Passo 3

(f) Temos

A - t I =

⎜   2 - t                         2                                 3           ⎜

⎜             1                         2 - t                       1           ⎜

⎜             2                         - 2                 1 - t   ⎜

Então,

d e t ( A - t I ) = 0 ⇒ ( 2 - t ) [ ( 2 - t ) ( 1 - t ) + 2 ] - 2 [ 1 - t - 2 ] + 3 [ - 2 + 2 t - 4 ] = 0

- t 3 + 5 t 2 - 2 t - 8 = 0 ⇒ t = - 1 , t = 2 , t = 4

Para achar os autovetores, primeiro calculamos

⎜   2                         2                     3     ⎜ ⎜ x ⎜ = ⎜   2 x + 2 y + 3 z     ⎜

⎜   1                         2                     1     ⎜ ⎜ y ⎜                 ⎜       x + 2 y + z           ⎜

⎜   2               - 2                 1     ⎜ ⎜ z ⎜               ⎜     2 x - 2 y + z         ⎜

Para t = - 1 , temos

2 x + 2 y + 3 z = - x

x + 2 y + z   = - y

2 x - 2 y + z = - z

Somando a primeira equação com a terceira, obtemos

4 x + 4 z = - x - z ⇒ 5 x + 5 z = 0 ⇒ x = - z

Agora, nós vamos substituir x = - z na segunda equação

x + 2 y + z   = - y ⇒ 2 y = - y ⇒ y = 0

Então, ( - m , 0 , m ) é autovetor para t = - 1 .

Para t = 2 , temos

2 x + 2 y + 3 z = 2 x ⇒ 2 y = - 3 z

x + 2 y + z   = 2 y ⇒ x = - z

2 x - 2 y + z = 2 z

Então, ( - 2 m , 3 m , 2 m ) é autovetor para t = 2 .

Para t = 4 , temos

2 x + 2 y + 3 z = 4 x ⇒ 2 y + 3 z = 2 x

x + 2 y + z   = 4 y ⇒ 2 y - z = x

2 x - 2 y + z = 4 z

Substituindo a segunda equação na primeira, temos

2 y + 3 z = 4 y - 2 z ⇒ 2 y = 5 z

E a segunda equação se torna

x = 2 y - z = 5 z - z = 4 z .

Então, ( 8 m , 5 m , 2 m ) é autovetor para t = 4 .

Resposta

(d) - t 3 + 2 t 2 + 5 t - 6 = 0 , ( 6 m , 3 m , 8 m ) é o autovetor para t = 1 , ( 0,5 m , 2 m ) é o autovetor para t = 1 e ( 0,0 , m ) é o autovetor para t = - 2 .

(e) - t 3 + 7 t 2 - 14 t + 8 = 0 , ( - m , m , m ) é o autovetor para t = 1 , ( m , 0,0 ) é o autovetor para t = 2 e ( 7 m , - 4 m , 2 m ) é o autovetor para t = 4 .

(f) - t 3 + 5 t 2 - 2 t - 8 = 0 , ( - m , 0 , m ) é autovetor para t = - 1 , ( - 2 m , 3 m , 2 m ) é autovetor para t = 2 e ( 8 m , 5 m , 2 m ) é autovetor para t = 4 .

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