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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 4a

1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.

a. B ∈ M n n   A B = B A } .

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se o conjunto W = B ∈ M n n   A B = B A } é um espaço vetorial, para isso vamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de M n n (espaço das matrizes de ordem n n ). Para isso, precisamos saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) A , B ∈ W , então A + B ∈ W e (0’) se A ∈ W e α ∈ R , então α A ∈ W .

Seja A ,   B 1 , B 2 ∈ W quaisquer, tais que A B 1 = B 1 A e A B 2 = B 2 A , então A B 1 + B 2 = A B 1 + A B 2 = B 1 A + B 2 A = B 1 + B 2 A ∈ W .

Agora, se α ∈ R e A ,   B ∈ W tal que A B = B A então A α B = A α B = α A B = α B A = ( α B ) A . Portanto, o conjunto W é um subespaço vetorial de M n n .

Resposta

O conjunto B ∈ M n n   A B = B A } é um espaço vetorial.

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