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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 13

Considere a matriz A = 1 1 1                   1 1 3 - 2                     a 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1 - 3       2 a + 1 . Determine o conjunto solução do sistema AX = B, em que B = 4 3 1 6 t , para todos os valores de a.

Passo 1

Eii pessoal, essa questão parece complicada, mas não é tão difícil assim!! Só é um pouquinho trabalhosa. Vamos lá!

Temos, primeiro, que montar um sistema matricial com A e B, em forma de matriz aumentada:

1 1 1                   1                     4 1 3 - 2                     a                   3 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1   1 - 3       2 a + 1       6

Passo 2

Vamos, agora, escalonar esse sistema:

1 1 1                   1                     4 1 3 - 2                     a                   3 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1   1 - 3       2 a + 1       6 → 1 1 1                   1                     4 0 2 - 3                     a - 1   - 1 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1   1 - 3       2 a + 1       6

→ 1 1 1                   1                     4 0 2 - 3                     a - 1   - 1 0 3 2 a - 4 a + 2 - a - 4 3 a - 3 - 7 - 3       2 a + 1       6 → 1 1 1                   1                     4 0 2 - 3                     a - 1   - 1 0 0 2 a - 4 a - 1 - a - 4 3 a - 3 - 7 - 6       2 a - 2     - 6

→ 1 1 1                   1                     4 0 1 - 3 2                     a - 1 2   - 1 2 0 0 2 a - 4 a - 1 - a - 4 3 a - 3 - 7 - 6       2 a - 2     - 6 → 1 1 1                   1                     4 0 1 - 3 2                     a - 1 2   - 1 2 0 0 0 a - 1 2 a - 10 - a 2 + 6 a - 5 a - 9 - 6       2 a - 2     - 6

→ 1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 2 a - 10 - a 2 + 6 a - 5 a - 9 3 a - 15 2       - a 2 + 6 a - 5 2 a - 13 2

Passo 3

Vamos, agora, dividir em casos:

Para a ≠ 5 :

1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 2 a - 10 - a 2 + 6 a - 5 a - 9 3 a - 15 2       - a 2 + 6 a - 5 2 a - 13 2

→ 1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 1                       - a + 1 2                 a - 9 2 a - 10 3 a - 15 2       - a 2 + 6 a - 5 2 a - 13 2

→ 1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 1                       - a + 1 2                 a - 9 2 a - 10 0       a 2 - 6 a + 5 4 - a + 1 4

Para a 2 - 6 a + 5 ≠ 0 :

1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 1                       - a + 1 2                 a - 9 2 a - 10 0       a 2 - 6 a + 5 4 - a + 1 4

→ 1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 1                       - a + 1 2                 a - 9 2 a - 10 0                           1                                   - 1 a - 5

→ 1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     0                               2 a - 5 0 0 0 0 1                           0                                     - 4 a - 5 0                           1                                   - 1 a - 5

→ 1 1 1                               0                               4 a - 19 a - 5 0 1 0                     0                             - 4 a - 5 0 0 0 0 1                           0                               - 4 a - 5 0                           1                                   - 1 a - 5

→ 1 0 0   0   4 a - 11 a - 5 0 1 0 0     - 4 a - 5 0 0 0 0 1       0     - 4 a - 5 0   1   - 1 a - 5

Ou seja:

X = 4 a - 11 a - 5 - 4 a - 5 - 4 a - 5 - 1 a - 5

Já para o caso em que a = 1:

1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     0                     - 1 2 0 0 0 0 1                       1                 a - 9 2 a - 10 0                                 0                                   0

→ 1 0 0                                 1                 13 a - 45 4 a - 2 0 0 1 0                               0               a - 17 4 a - 20 0 0 0 0 1                       0                 a - 9 2 a - 10 0                                 0                                   0

X = 13 a - 45 4 a - 20 - x 4 a - 17 4 a - 20 a - 9 2 a - 10 x 4

Para a = 5:

1 1 1                                 1                                         4 0 1 - 3 2                     a - 1 2                     - 1 2 0 0 0 0 0                       0                 a - 9                       0                           1                                   - 1 a - 5

Sistema sem solução.

Resposta

Se a ≠ 1 e a ≠ 5 :

X = 4 a - 11 a - 5 - 4 a - 5 - 4 a - 5 - 1 a - 5

Se a = 1:

X = 2 - x 4 1 1 x 4

Se a= 5:

Sistema sem solução.

Exercícios de Livros Relacionados

Aplique o processo de escalonamento a cada um dos sistemas abaixo e, a partir do resultado, identifique em qual dos oito casos da seção anterior o sistema se enquadra.1) x+2 y+3 z=4 3 x-y+2 z=5 9 x -
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares:
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: c) x–2 y+z+t=1 2 x+y-2 z+2 t=0 x+6 y=- 2
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: b) 2 x–2 y+4 z=1 2 x+7 z=1 x-y+6 z=1 ,5 2 y+6 z=2 4 x-3 y+12 z=5
Use escalonamento para mostrar que um sistema 3 × 3 cujas linhas ℓ1, ℓ2, ℓ3 são linearmente independentes possui uma única solução.