Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )=( 4,5 , - 2 )+m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :( x - 1 ) 2+( y - 2 ) 2+ ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .

z + 2 = 0 e 2 x + 2 y + z - 16 = 0

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 27

Ache os planos que passam pela reta e que cortam sobre a superfície esférica circunferências de raio .

Passo 1

Bom, nessa questão já temos a equação da reta em sua forma parametrizada e a equação da superfície esférica em sua forma reduzida. Dessas informações temos:

que nos fornecem o seguinte vetor diretor: . E,

que implica que o centro é e o raio .

A última informação que temos é que o raio da circunferência formada pela interseção do plano com a superfície esférica é . Quem aí ainda lembra dos exercícios anteriores? Neles, tentávamos descobrir , mas aqui é o contrário. Precisamos descobrir e .

Já sabemos que, por pitágoras, temos:

Para finalizar esse passo, vamos testar se essa reta passa pelo centro da esfera:

ou seja, não há um valor para m ou k possível. Então a reta T não passa pelo centro da esfera.

Passo 2

Agora, pessoal,precisamos dar uma olhada no exercício resolvido. Vamos nos basear pelo Exercício Resolvido 5. Para começar precisamos reescrever a equação da reta da seguinte forma:

Daí, teremos duas equações:

e podemos sintetizá-las através de dois parâmetros e , nos dando uma equação que descreve um feixe de plano que passa pela reta da seguinte forma:

Se olharmos bem, o que essa equação acima nos lembra? Isso mesmo, a equação de um plano com . Precisamos apenas de algum vínculo para buscarmos e que nos dê os planos desejados.

Para isso, podemos utilizar que a distância entre o centro da superfície esférica e os planos desejados será a mesma. Daí, podemos fazer a seguinte operação: