Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 3b
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica no ponto
b)
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D
Queremos a equação do plano tangente, certo? Vou chamar esse plano de . A equação geral do plano é:
Para equacionar esse plano precisamos de um vetor que seja normal e de um ponto que pertença a ele também. O ponto já temos e é o . E o vetor normal?
Bom, vamos pensar um pouquinho. A partir da equação da superfície esférica a gente já sabe como encontrar o centro, certo? Podemos construir então um vetor que sai do centro e vá até o ponto , pois assim ele vai estar na direção radial da superfície (já que o plano é tangente), e consequentemente normal ao plano. Então é daqui que vamos achar o vetor normal: a partir do centro da superfície .
Então a ideia aqui é a seguinte: a partir da equação para achar seu centro, depois construir o vetor normal com o ponto dado. Daí com o vetor normal e o ponto é só substituir na equação geral do plano, fazer as multiplicações, reorganizar os termos, e correr pro abraço!
Beleza até aqui?
Vamos começar?
Passo 2
Primeiro vamos resgatar a equação da superfície :
Ela é do tipo reduzida, e na forma geral é:
Onde o centro é e o raio ao quadrado Comparando com a nossa equação temos o centro .
Passo 3
Pronto! Agora vamos construir o vetor normal ao plano. Esse vetor vai sair do centro e ir até o ponto dado. Assim o vetor é:
Passo 4
Resumindo, o ponto e o vetor são:
Agora vamos resgatar a equação geral do plano:
Substituindo temos:
Pronto! Resolvido! A equação do plano tangente é .
Espero ter ajudado!
Vamos pra próxima?