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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 2b

Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e:

  1. tangente ao plano x O z .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso temos o centro C ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e sabemos que essa esfera é tangente ao plano x O z . Isso significa que a distância do centro até o plano x O z (ou seja, a coordenada y   do ponto) é igual ao raio. Então a ideia aqui é a seguinte: identificar a coordenada y do ponto do centro e assim achamos o r . E com o centro C e o raio r , substituir na equação geral da superfície esférica, abrir os produtos notáveis, reorganizar os termos e é só =D

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro a coordenada y do centro: C 2 ,   - 3 ,   4 . Aqui temos que y = - 3 , então r = 3 . Aqui a coordenada é negativa, mas isso não importa! O que importa é a distância da coordenada até a origem, e daí contamos 3 unidades, beleza?

Passo 3

Pronto! Agora vamos juntar o centro C h , k , l = C ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e r = 3 e substituir na equação geral.

Resgatando lá do passo 1 a equação geral temos:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Agora é só substituir:

x - 2 2 + y + 3 2 + z - 4 2 = 9

Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 + z 2 - 8 z + 16 - 9 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 8 z + 20 = 0

Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 8 z + 20 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 8 z + 20 = 0

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