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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 1c

Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.

  1. O segmento de extremos A ( - 1 , 3 , - 5 ) e B ( 5 , - 1 , - 3 ) é um de seus diâmetros.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso não temos nem o centro nem raio. Mas calma, vou ajudar você! Temos os pontos extremos de um diâmetro, certo? Sendo assim o ponto médio é o centro e a distância entre o centro e um dos pontos dados é igual ao raio. Então a ideia aqui é aplicar a fórmula do ponto médio nos pontos A e B , determinar o centro. Com o centro, achar a distância dele até um dos pontos (aqui vou escolher o A , mas pode usar o B também, o resultado vai ser o mesmo =D) e esse vai ser o valor do raio. Daí por fim, juntar o centro e o raio e substituir na expressão geral e reorganizar os termos.

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro o ponto médio entre A ( - 1 , 3 , - 5 ) e B ( 5 , - 1 , - 3 ) :

M = x A + x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2  

M = - 1 + 5 2 ; 3 - 1 2 ; - 5 - 3 2 = ( 2,1 , - 4 )

Passo 3

Pronto! Agora vou calcular a distância do ponto M ( 2 , 1 , - 4 ) até A ( - 1,3 , - 5 ) para determinar o raio:

r 2 = x M - x A 2 + y M - x A 2 + z M - z A 2

r 2 = 2 + 1 2 + 1 - 3 2 + - 4 + 5 2

r 2 = 3 2 + - 2 2 + 1 2

r 2 = 9 + 4 + 1 = 14

Pronto! Agora vamos juntar o centro (ponto M ) e r 2 e substituir na equação geral.

Passo 4

O centro é o ponto médio, então C h , k , l = M ( 2,1 , - 4 ) , e temos também que r 2 = 14 . Resgatando lá do passo 1 a equação geral temos:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Agora é só substituir:

x - 2 2 + y - 1 2 + z + 4 2 = 14

Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 + 8 z + 16 - 14 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 7 = 0

Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 7 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 7 = 0

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