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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 3c

Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:

⎜ 1 1 - 2 ⎜

⎜ 4 0 4 ⎜

⎜ 1 - 1 4 ⎜

Passo 1

Fala, galerinha! Vocês já estão ligados, se a matriz tiver dois autovalores diferentes, então ela é diagonalizável. Temos

A - t I =

⎜ 1 - t 1 - 2 ⎜

⎜ 4 - t 4 ⎜

⎜ 1 - 1 4 - t ⎜

Então

d e t ( A - t I ) = ( 1 - t ) [ ( - t ) ( 4 - t ) + 4 ] - [ 4 ( 4 - t ) - 4 ] - 2 [ - 4 + t ] = 0

- t^3 + 5 t^2 - 2 t - 8 = 0 => t = - 1 , t = 2 , t = 8

Como temos três autovalores diferentes, a matriz só tem três autovetores L.I.. Por isso, ela é diagonalizável.

Resposta

Diagonalizável.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λ k é um autovalor de A k = A … A associado a X, em que k é um inteiro positivo.
Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmo autovalores.
Demonstre que A e A t possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os autovetores de A e A t .
Mostre que se A e B são matrizes ortogonais, então AB é ortogonal.
Verifique se a matriz [[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]] é ortogonal.