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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 14

(identidade de Parseval) seja X um subconjunto ortonormal de um espaço com produto interno V . Se V ,   W ∈ X , então existem vetores U 1 , … , U n ∈ X tais que:

< V , W >   =   ∑ k = 1 n < V , U i > < U i , w > .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos temos que seja X um subconjunto ortonormal de um espaço com produto interno V . Se V ,   W ∈ X , então existem vetores U 1 , … , U n ∈ X tais que:

< V , W >   =   ∑ k = 1 n < V , U i > < U i , w > .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Dado o conjunto de vetores representado por:

V ,   W ∈ X , com U 1 , … , U n ∈ X

Tal que,

< V , W >   =   ∑ k = 1 n < V , U i > < U i , w > .

Temos que para essa questão sendo V em um espaço vetorial com produto vetorial e X um subconjunto de V dos vetores ortogonais não nulos, podemos definir que se V pertence ao espaço de todas as combinações lineares de elementos X , ou seja, se V ∈ [ X ] então vai existir um espaço W 1 , … , W n ∈ X de tal forma que,

V = ∑ i = 1 n < V , W i > W i 2 W i  

Ficando,

< V , W j >   =   < ∑ i = 1 n α i W i , W j >   =   ∑ i = 1 n α i < W i , W j > = α j W j 2  

Assim,

α j = < V , W i > W j 2 , para j = 1 , … , n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

α j = < V , W i > W j 2 , para j = 1 , … , n

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