Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 35
Prove que duas arestas opostas quaisquer de um tetraedro regular são ortogonais.
Passo 1
O exercício quer que mostremos que duas arestas opostas quaisquer de um tetraedro regular são ortogonais. Para isso, vamos visualizar o tetraedro regular:
Todas as arestas medem e os ângulos em todas as faces são . Vamos considerar duas arestas opostas: e . Para que essas arestas sejam ortogonais, devemos ter
É isso que vamos tentar demonstrar!
Passo 2
Sabemos que
Assim,
Note que agora cada um dos produtos escalares que sobrou são de arestas numa mesma face, o que é mais fácil de calcular!
Passo 3
O ângulo entre e é , de modo que
Já entre e , o ângulo é :
Portanto,
Assim, vemos que as arestas opostas são ortogonais!
Resposta
Demonstração.
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7.Prove que (a) vec v + vec v = 2 vec v (b) vec v = - vec v = vec v = vec 0
Resolva, na incógnita vec x , a equação 2 vec x - 3 vec u = 10 (vec x + vec v) .
9.Prove que, se alpha != 0 , então alpha vec u = alpha vec v
3. Sendo u → , v →ew → representados na figura 3-2, represente x = 2 u → - v → + 5 w → 4 por uma flecha de origem O.
8.Prove recíproca da afirmação feita na Definição 3-1(a) a v → = 0 →⇒ a = 0o uv → = 0 ) .