Prove que duas arestas opostas quaisquer de um tetraedro regular são ortogonais.

Passo 1

O exercício quer que mostremos que duas arestas opostas quaisquer de um tetraedro regular são ortogonais. Para isso, vamos visualizar o tetraedro regular:

Todas as arestas medem a e os ângulos em todas as faces são 60 ° . Vamos considerar duas arestas opostas: u → = A B → e v → = C D → . Para que essas arestas sejam ortogonais, devemos ter

u → ⋅ v → = 0

É isso que vamos tentar demonstrar!

Passo 2

Sabemos que

A B → = A C → + C B →

Assim,

u → ⋅ v → = A C → + C B → ⋅ C D → = A C → ⋅ C D → + C B → ⋅ C D →

Note que agora cada um dos produtos escalares que sobrou são de arestas numa mesma face, o que é mais fácil de calcular!

Passo 3

O ângulo entre   A C → e   C D → é 120 ° , de modo que

A C → ⋅ C D → = A C → C D → cos ⁡ 120 ° = - a 2 cos ⁡ 60 °

Já entre C B → e   C D → , o ângulo é 60 ° :

C B → ⋅ C D → = C B → C D → cos ⁡ 6 0 ° = a 2 cos ⁡ 60 °

Portanto,

u → ⋅ v → = - a 2 cos ⁡ 60 ° + a 2 cos ⁡ 60 ° = 0

Assim, vemos que as arestas opostas são ortogonais!

Resposta

Demonstração.

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