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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 26

Prove que as coordenadas de qualquer vetor u → na base ortonormal B = i → ,   j → ,   k → são iguais aos produtos escalares de u → por i → , j → e k → , ou seja: u → = u → ⋅ i →   i → + u → ⋅ j →   j → + u → ⋅ k →   k → .

Passo 1

Para demonstrar o que foi pedido, vamos escrever u → em coordenadas:

u → = x ,   y ,   z = x   i → + y   j → + z   k → ,

onde

i → = ( 1 ,   0 ,   0 )

j → = ( 0 ,   1 ,   0 )

k → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 2

Queremos mostrar que x = u → ⋅ i → , y = u → ⋅ j → e z = u → ⋅ k → . Para isso, tomamos os produtos escalares:

u → ⋅ i → = x ,   y , z ⋅ 1 ,   0 ,   0 = x

Analogamente,

u → ⋅ j → = x , y ,   z ⋅ 0 ,   1 ,   0 = y

u → ⋅ k → = x ,   y ,   z ⋅ 0 ,   0 ,   1 = z

Assim,

u → = x   i → + y   j → + z   k → = u → ⋅ i →   i → + u → ⋅ j →   j → + u → ⋅ k →   k →

Era exatamente isso que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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