Sejam, em relação a uma base ortonormal, , , e . Prove que é base ortonormal e calcule as coordenadas de nessa base.
Passo 1
O primeiro passo nesse problema é verificar se a base é ortonormal. Para isso, vamos ver se os vetores são unitários:
Agora vamos ver se eles são ortogonais:
Como os vetores são ortogonais e unitários, a base é ortonormal!
Passo 2
Agora queremos escrever o vetor na base , onde é a base canônica ortonormal. Para isso, vamos construir a matriz com as colunas sendos os vetores de :
Sabemos também que
Passo 3
Como as bases são ortonormais, a matriz é ortogonal, de modo que sua inversa é igual sua transposta:
Portanto,
Ou ainda,