Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.9 - Ex. 8

Considere uma economia aberta com matriz de consumo C = 1 2 1 4 1 4 1 2 1 8 1 4 1 2 1 4 1 8 .

Se o setor aberto demanda o mesmo valor em unidades monetárias de cada setor produtivo, qual desses setores deve produzir o maior valor monetário para atender a demanda da economia?

Passo 1

Questões de economia envolvem, geralmente, a aplicação da equação de Leontief. Para entender essa equação, primeiro temos que separar a matriz C em três matrizes colunas que serão os diferentes setores.

Assim:

C = 1 2 1 4 1 4 1 2 1 8 1 4 1 2 1 4 1 8

Onde cada setor s 1 , s 2 e s 3 são as colunas dessa matriz:

s 1 = 1 2 1 2 1 2 s 2 = 1 4 1 8 1 4 s 3 = 1 4 1 4 1 8

Passo 2

O próximo passo é aplicar a equação de Leontief para resolver um sistema linear. Essa equação é:

I - C x = s

Vamos manipular a equação para isolar o x .

x = I - C - 1 . s

Passo 3

A resposta desse problema será quando encontrarmos o maior valor de x resolvendo para cada setor.

Então:

Se, I - C = 1 - 1 2 - 1 4 - 1 4 - 1 2 1 - 1 8 - 1 4 - 1 2 - 1 4 1 - 1 8 = 1 2 - 1 4 - 1 4 - 1 2 7 8 - 1 4 - 1 2 - 1 4 7 8 , vamos usar do algoritmo de inversão para encontrar I - C - 1

I - C - 1 = 1 2 - 1 4 - 1 4 - 1 2 7 8 - 1 4 - 1 2 - 1 4 7 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 2 - 1 4 - 1 4 - 1 2 7 8 - 1 4 - 1 2 - 1 4 7 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 1 → 2 L 1 1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 7 8 - 1 4 - 1 2 - 1 4 7 8 2 0 0 0 1 0 0 0 1

1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 7 8 - 1 4 - 1 2 - 1 4 7 8 2 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 + 1 2 L 1 L 3 → L 3 + 1 2 L 1 1 - 1 2 - 1 2 0 5 8 - 1 2 0 - 1 2 5 8 2 0 0 1 1 0 1 0 1

1 - 1 2 - 1 2 0 5 8 - 1 2 0 - 1 2 5 8 2 0 0 1 1 0 1 0 1 → L 2 → 8 5 L 2 1 - 1 2 - 1 2 0 1 - 4 5 0 - 1 2 5 8 2 0 0 8 5 8 5 0 1 0 1

1 - 1 2 - 1 2 0 1 - 4 5 0 - 1 2 5 8 2 0 0 8 5 8 5 0 1 0 1 → L 3 → L 3 + 1 2 L 2 1 - 1 2 - 1 2 0 1 - 4 5 0 0 9 40 2 0 0 8 5 8 5 0 9 5 4 5 1

1 - 1 2 - 1 2 0 1 - 4 5 0 0 9 40 2 0 0 8 5 8 5 0 9 5 4 5 1 → L 3 → 40 9 L 3 1 - 1 2 - 1 2 0 1 - 4 5 0 0 1 2 0 0 8 5 8 5 0 8 32 9 40 9

1 - 1 2 - 1 2 0 1 - 4 5 0 0 1 2 0 0 8 5 8 5 0 8 32 9 40 9 → L 2 → L 2 + 4 5 L 3 L 1 → L 1 + 1 2 L 3 1 - 1 2 0 0 1 0 0 0 1 6 16 9 20 9 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9

1 - 1 2 0 0 1 0 0 0 1 6 16 9 20 9 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9 → L 1 → L 1 + 1 2 L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 4 4 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9

Assim:

I - C - 1 = 10 4 4 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9

Passo 4

Agora, para cada setor, vamos resolver a equação x = I - C - 1 . s

Para o setor 1:

x 1 = I - C - 1 . s 1 = 10 4 4 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9 1 2 1 2 1 2

x 1 = 10 × 1 2 + 4 × 1 2 + 4 × 1 2 8 × 1 2 + 40 9 × 1 2 + 32 9 × 1 2 8 × 1 2 + 32 9 × 1 2 + 40 9 × 1 2

x 1 = 5 + 2 + 2 4 + 20 9 + 16 9 4 + 16 9 + 20 9

x 1 = 9 8 8

Para o setor 2:

x 2 = I - C - 1 . s 2 = 10 4 4 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9 1 4 1 8 1 4

x 2 = 10 × 1 4 + 4 × 1 8 + 4 × 1 4 8 × 1 4 + 40 9 × 1 8 + 32 9 × 1 4 8 × 1 4 + 32 9 × 1 8 + 40 9 × 1 4

x 2 = 10 4 + 4 8 + 1 2 + 5 9 + 8 9 2 + 4 9 + 10 9

x 2 = 4 31 9 32 9

Para o setor 3:

x 3 = I - C - 1 . s 3 = 10 4 4 8 40 9 32 9 8 32 9 40 9 1 4 1 4 1 8

x 3 = 10 × 1 4 + 4 × 1 4 + 4 × 1 8 8 × 1 4 + 40 9 × 1 4 + 32 9 × 1 8 8 × 1 4 + 32 9 × 1 4 + 40 9 × 1 8

x 3 = 10 4 + 1 + 1 2 2 + 10 9 + 4 9 2 + 8 9 + 10 9

x 3 = 4 32 9 31 9

Resposta

O setor com maior valor monetário é o setor 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .d) Mostre que tr(AB) = tr(BA)
Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .Mostre que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então então A+B e αA são anti-simétricas, para todo escalar α.
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .b) Mostre que se A e B são simétricas, então A+B e αA são simétricas, para todo escalar α.
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .f) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simét