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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.9 - Ex. 10a

Considere uma economia aberta com matriz de consumo C cujas somas das entradas são menores que 1 e seja x o vetor de produção que satisfaz a demanda externa d , ou seja, I - C - 1 d = x . Seja d j o vetor demanda que é obtido aumentado j-ésima entrada de d por 1 unidade deixando as outras entradas fixas. Prove que o vetor de produção x j que atende essa demanda é x j + j - é s i m o   v e t o r   c o l u n a   d e   I - C - 1

Passo 1

Nessa questão, temos que considerar duas matrizes para produção que satisfazem duas demandas.

x seria para uma demanda d e x ' para uma demanda d ' .

Então montando as equações de Leontief, temos:

x = C x + d x ' = C x ' + d '

Passo 2

O próximo passo é somarmos as duas equações para que tenhamos uma nova onde exista um vetor que satisfaça as duas demandas juntas.

x + x ' = C x + d + C x ' + d '

Colocando os fatores em evidência, temos:

x + x ' = C x + x ' + ( d + d ' )

Agora, temos o vetor x + x '

Passo 3

Se pegarmos agora a matriz d ' , vamos coloca-la como d ' = 1 0 ⋮ 0 usando com a entrada 1 no primeiro elemento para o setor 1. Quando falarmos do setor 2, será no segundo elemento e assim por diante.

Vamos manipular a equação x ' = C x ' + d ' para que tenhamos a matriz ( I - C )

x ' - C x ' = d '       →           I - C x ' = d '

Passo 4

Agora, temos que manipular I - C x ' = d ' para que isolemos o vetor x '

x ' = I - C - 1 d '

x ' = I - C - 1 1 0 ⋮ 0

x ' = p r i m e i r a c o l u n a   d e   I - C - 1 × 1 + 0 × s e g u n d a c o l u n a   d e   I - C - 1 + … 0 × j - é s i m a c o l u n a   d e   I - C - 1

Logo, para cada setor, teremos x ' = c o l u n a   d e   I - C - 1   c o r r e s p o n d e n t e

Portanto, x ' j = x ' + I - C j - 1

Resposta

Portanto, x ' j = x ' + I - C j - 1

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