Considere uma economia aberta com matriz de consumo C cujas somas das entradas são menores que 1 e seja x o vetor de produção que satisfaz a demanda externa d , ou seja, I - C - 1 d = x . Seja d j o vetor demanda que é obtido aumentado j-ésima entrada de d por 1 unidade deixando as outras entradas fixas. Prove que o vetor de produção x j que atende essa demanda é x j + j - é s i m ov e t o rc o l u n ad eI - C - 1 é

Portanto, x ' j = x ' + I - C j - 1

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.9 - Ex. 10a

Considere uma economia aberta com matriz de consumo cujas somas das entradas são menores que 1 e seja o vetor de produção que satisfaz a demanda externa , ou seja, . Seja o vetor demanda que é obtido aumentado j-ésima entrada de por 1 unidade deixando as outras entradas fixas. Prove que o vetor de produção que atende essa demanda é

Passo 1

Nessa questão, temos que considerar duas matrizes para produção que satisfazem duas demandas.

seria para uma demanda e para uma demanda .

Então montando as equações de Leontief, temos:

Passo 2

O próximo passo é somarmos as duas equações para que tenhamos uma nova onde exista um vetor que satisfaça as duas demandas juntas.

Colocando os fatores em evidência, temos:

Agora, temos o vetor

Passo 3

Se pegarmos agora a matriz , vamos coloca-la como usando com a entrada 1 no primeiro elemento para o setor 1. Quando falarmos do setor 2, será no segundo elemento e assim por diante.

Vamos manipular a equação para que tenhamos a matriz

Passo 4

Agora, temos que manipular para que isolemos o vetor

Logo, para cada setor, teremos

Portanto,

Resposta

Portanto,

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Mostre que os resultados dos exercícios 1 e 2 também valem para a reflexão em torno de uma reta (no lugar de uma rotação).

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .c) Mostre que tr( A t ) = tr(A)

Seja A uma matriz nxn. Mostre que se A A t = 0 , então A = 0. E se a matriz A for mxn, com m ≠ n?

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .b) Mostre que tr(αA) = αtr(A)

Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .Mostre que se A é simétrica, então a i j = a j i , para i, j = 1,... n e que se A é anti-simétrica, então a i j =