Prove que se C for uma matriz n × n cujas entradas são não negativas e cujas somas das entradas de linhas são menores que 1, então I - C é invertível e tem entradas não negativas. [Sugestão: A T - 1 = A - 1 T para uma matriz invertível qualquer A ]

Passo 1

Nessa questão, temos vamos considerar que a matriz C tem as somas das entradas nas linhas menor que 1. Então, sua transposta terá a soma das colunas menores que 1.

Se C tem a soma das colunas menores que 1, a matriz ( I - C ) é invertível e a I - C - 1 tem entradas não negativas

Passo 2

Vamos usar então da relação que achamos no primeiro passo.

I - C T   é   i n v e r t í v e l I - C T - 1   t e m   e n t r a d a s   n ã o   n e g a t i v a s

I - C = I T - C T T

I - C = I - C T T

Passo 3

Agora, vamos ver a inversa de I - C .

I - C - 1 = I T - C T T - 1

I - C - 1 = I - C T - 1 T

Logo, se I - C T - 1 tem entradas não negativas, I - C T - 1 T também tem entradas não negativas.

Resposta

I - C T - 1 T também tem entradas não negativas.

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