Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 4

(a)

Expresse ( 4 a ,   a -   b ,   a +   2 b ) como uma combinação linear de ( 4 ,   1 ,   1 ) e ( 0 ,   - 1 ,   2 ) .

(b)

Expresse ( 3 a +   b +   3 c ,   - a +   4 b -   c ,   2 a +   b +   2 c ) como uma combinação linear de ( 3 ,   - 1 ,   2 ) e ( 1 ,   4 ,   1 ) .

(c)

Expresse ( 2 a -   b +   4 c ,   3 a -   c ,   4 b +   c ) como uma combinação linear de três vetores não nulos.

Passo 1

(a)

Vamos lá, precisamos escrever nosso vetor ( 4 a ,   a -   b ,   a +   2 b ) como uma combinação linear de ( 4 ,   1 ,   1 ) e ( 0 ,   - 1 ,   2 ) , assim sendo x , y ∈   R 2 .

x 4 ,   1 ,   1 + y 0 ,   - 1 ,   2 = ( 4 a ,   a -   b ,   a +   2 b )

4 x ,   x - y ,   x + 2 y = ( 4 a ,   a -   b ,   a +   2 b )

4 x = 4 a

x - y = a - b

a + 2 b = a + 2 b

4 x = 4 a ,   x = a

Substituindo na segunda equação:

a - y = a - b ,   y = b

Assim temos que:

a 4 ,   1 ,   1 + b 0 ,   - 1 ,   2 = ( 4 a ,   a -   b ,   a +   2 b )

Passo 2

(b)

Vamos lá, precisamos escrever nosso vetor ( 3 a +   b +   3 c ,   - a +   4 b -   c ,   2 a +   b +   2 c ) como uma combinação linear de ( 3 ,   - 1 ,   2 ) e ( 1 ,   4 ,   1 ) , assim sendo x , y ∈   R 2 .

x 3 ,   - 1 ,   2 + y 1 ,   4 ,   1 = ( 3 a +   b +   3 c ,   - a +   4 b -   c ,   2 a +   b +   2 c )

3 x + y ,   - x + 4 y ,   2 x + y = ( 3 a +   b +   3 c ,   - a +   4 b -   c ,   2 a +   b +   2 c )

3 x + y = 3 a + b + 3 c

- x + 4 y = - a + 4 b - c

2 x + y = 2 a + b + 2 c

Subtraindo a primeira equação da última temos:

3 x + y - 2 x + y = 3 a + b + 3 c - 2 a + b + 2 c

x = a + c

Substituindo esse resultado na primeira equação na segunda equação:

3 a + b + y = 3 a + b + 3 c ,   y = b

Assim temos que:

( a + c ) 3 ,   - 1 ,   2 + b 1 ,   4 ,   1 = ( 3 a +   b +   3 c ,   - a +   4 b -   c ,   2 a +   b +   2 c )

Passo 3

(c)

Vamos lá, precisamos escrever nosso vetor ( 2 a -   b +   4 c ,   3 a -   c ,   4 b +   c ) como uma combinação linear de três vetores não nulos.

Vamos considerar os coeficientes de ( a ,   b , c ) como nossos vetores de base.

Assim temos:

a 2 ,   3 ,   0 ,   b - 1 ,   0 ,   4 ,   c ( 4 ,   - 1 ,   1 )

Fazendo a substituição

x 2 ,   3 ,   0 + y - 1 ,   0 ,   4 + z ( 4 ,   - 1 ,   1 ) = ( 2 a -   b +   4 c ,   3 a -   c ,   4 b +   c )

2 x -   y +   4 z ,   3 x -   z ,   4 y +   z = ( 2 a -   b +   4 c ,   3 a -   c ,   4 b +   c )

2 x - y + 4 z = 2 a -   b +   4 c

3 x -   z = 3 a -   c

4 y +   z = 4 b +   c

Isolando z na ultima equação temos:

z = 4 b + c - 4 y

Substituindo esse resultado na segunda equação:

3 x - 4 b - c + 4 y = 3 a - c

x = 3 a + 4 b - 4 y 3

Substituindo z   e   x na primeira equação achamos:

y = - 2 a + b - 4 c + 16 b + 4 c - 16 y + 6 a + 8 b - 8 y 3

y = b

Substituindo o valor de y nas outras equações encontramos:

x = a ,   z = c .

Assim temos que:

( a + c ) 3 ,   - 1 ,   2 + b 1 ,   4 ,   1 = ( 3 a +   b +   3 c ,   - a +   4 b -   c ,   2 a +   b +   2 c )

a 2 ,   3 ,   0 + b - 1 ,   0 ,   4 + c ( 4 ,   - 1 ,   1 ) = ( 2 a -   b +   4 c ,   3 a -   c ,   4 b +   c )

Resposta

(c) 2 ,   3 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   4 ,   4 ,   - 1 ,   1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

24. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f 1 x = e x e f 2 x = x e x f 3 x = x 2 e x são linearmente independente em F ( - ∞ , ∞ ) .
4. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P 2 são linearmente dependentes?(a) 2 - x + 4 x 2 ,3 + 6 x + 2 x 2,2 + 10 x - 4 x 2 (b) 3 + x + x 2 , 2 - x + 5 x 2 , 4 - 3 x 2 (c) 6 - x 2 ,1 + x + 4 x
23. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.(a) 1 ,x ,e x (b) 1 ,x ,x 2
21. As funções f 1 x = x e f 2 x = cos ⁡ x são linearmente independentes em F ( - ∞ , ∞ ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wron
5. Suponha que v 1 → , v 2 → e v 3 → sejam vetores em R 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num mesmo plano.(a) v 1 → = 2 ,- 2 ,0 ,v 2 → = 6,1 , 4 ,v 3 → = (