Com quais valores de s é o espaço solução de

uma reta pela origem, um plano pela origem, a origem ou todo o R 3 ?

Passo 1

Vamos lá! Antes de tudo precisamos escrever a matriz canônica da nossa transformação:

T s = 1 1 s 1 s 1 s 1 1

Calculando det ⁡ T s , temos:

- s 3 + 3 s - 2

Se fizermos det ⁡ T s = 0 , encontramos s = 1 , s = - 2 .

Se fizermos s = 0 que é considerada uma solução trivial para o sistema, det ⁡ T s ≠ 0 .

Agora vamos substituir s pelos valores encontrados para cada situação.

Passo 2

Vamos lá! Precisamos escrever nosso sistema de equações em forma de matriz, assim temos:

1 1 s 1 s 1 s 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Se fizermos s = 0 temos:

x 1 = - x 2

x 1 = - x 3

x 2 = - x 3

Assim temos que: x 1 = x 2 = x 3 = 0 .

Como det ⁡ T s ≠ 0 para s = 0 temos essa transformação é L . I aceitando somente a solução trivial.

Sendo s = 0 , nosso sistema tem como resposta 0 ,   0 ,   0 , que é a origem do nosso R 3 .

Passo 3

Vamos lá! Precisamos escrever nosso sistema de equações em forma de matriz, assim temos:

1 1 s 1 s 1 s 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Se fizermos s = 1 temos:

x 1 + x 2 + x 3 = 0

Assim temos que: x 1 + x 2 + x 3 = 0 .

Sendo s = 1 , nosso sistema tem como resposta x 1 + x 2 + x 3 = 0 , que é um plano que passa pela origem do sistema.

Lembrando a nossa Equação do plano sendo a x 1 + b x 2 + c x 3 + d = 0 , como d = 0 nosso plano passa pela origem.

Passo 4

Vamos lá! Precisamos escrever nosso sistema de equações em forma de matriz, assim temos:

1 1 s 1 s 1 s 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Se fizermos s = - 2 temos:

x 1 = - x 2 + 2 x 3

x 1 = - x 3 + 2 x 2

x 2 = - x 3 + 2 x 1

Assim temos que: x 1 = x 3 ,   x 2 = x 3 .

Sendo s = - 2 , nosso sistema tem como resposta uma reta, já que todos valores precisam ser iguais.

Imagine a equação do plano sendo a x 1 + b x 2 + c x 3 + d = 0

Substituindo pelos valores que encontramos:

a x 3 + b x 3 + c x 3 = a + b + c x 3

Como a + b + c = g é uma constante, nossa equação representa uma reta.

g x 3 = 0

Essa é a equação da reta que passa pela origem.

Resposta

Para s = 0 , nosso sistema é a origem de R 3 .

Para s = 1 , nosso sistema é um plano que passa pela origem.

Para s = - 2 , nosso sistema é uma reta que passa pela origem.

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