Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 14d
Em Álgebra Linear avançada, prova-se o critério de posto seguinte usando determinantes. O posto de uma matriz é se, e só se, tem alguma submatriz de determinante não nulo e todas as submatrizes de tamanho maior têm determinante nulo. [Observação: uma submatriz de é qualquer matriz obtida de por eliminação de linhas ou colunas de A própria matriz também é considerada uma submatriz de ] Em cada parte, use esse critério para encontrar o posto da matriz.
Passo 1
Excluindo a coluna da matriz obtemos a submatriz
O determinante de é dado por:
Resposta
Assim, pela definição do enunciado, podemos concluir que o posto da matriz é
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37. Dizemos que uma matriz é antissimétrica se A T = - A . Prove cada afirmação dada.(a) Se A for antissimétrica invertível, então A - 1 é antissimétrica(b) Se A e B são antissimétricas, então também
31. Em cada parte, verifique o Teorema 1.7.4 para a matriz dada.(a) A = 2 - 1 - 1 3 (b) A = 1 - 2 3 - 2 1 - 7 3 - 7 4
Nos exercícios 38-39, preencha as entradas marcadas com um x para produzir uma matriz antissimétrica.38. A = x x 4 0 x x x - 1 x
30. Verifique o Teorema 1.7.1 (d) para as matrizes A e B de Exercicio 29
41. Mostramos no Teorema 1.7.3 que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes comutam. Será o produto de matrizes antissimétricas que comutam uma matriz antissimé