Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.7 - Ex. 37
37. Dizemos que uma matriz é antissimétrica se . Prove cada afirmação dada.
(a) Se A for antissimétrica invertível, então é antissimétrica
(b) Se A e B são antissimétricas, então também o são e , com qualquer escalar .
(c) Toda Matriz quadrada pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica.
Passo 1
a)
Vamos aplicar a transposta na matriz para ver se encontramos :
Pelas propriedades da transposta:
E como
Podemos reescrever a equação assim:
Aplicando a potência no lado direito:
Prontinho, encontramos o que a gente queria.
Passo 2
b)
Vamos aplicar a transposta na matriz para ver se encontramos :
A transposta da transposta é a própria matriz original:
Mas nós sabemos, pelo enunciado, que
então
Substituindo isso na nossa equação:
Passo 3
Agora vamos ver para . Se elas forem antissimétrica, vamos obter quando aplicarmos a tranposta na expressão.
Pelo Teorema 1.4.8 podemos escrever que:
Nós sabemos, pelo enunciado, que , então podemos escrever:
Reescrevendo:
Tudo certo com essa expressão também.
Passo 4
Para ser antissimétrico, devemos obter, após aplicar a transposta, . Vamos testar:
Nós sabemos, pelo enunciado, que , então podemos escrever:
Reescrevendo:
Tudo certo com essa expressão também.
Passo 5
E por fim, para ser antissimétrico, devemos obter, após aplicar a transposta, . Pelo teorema 1.4.8 sabemos que:
Nós sabemos, pelo enunciado, que , então podemos escrever:
Reescrevendo:
Tudo certo com essa expressão também.
Passo 6
c) Pensa comigo: para uma matriz ser simétrica , certo? E para ser antissimétrica , né?
E o que fazemos quando queremos calcular uma transposta? Bom, o que era linha vira coluna e vice-versa. Por exemplo, se temos uma matriz que é , ela vira .
Portanto, você concorda comigo que se ou , elas devem possuir a mesma quantidade de linhas e colunas? Ou seja, elas devem ser quadradas? Isso porque, pela igualdade de matrizes, duas matrizes só são iguais se possuírem o mesmo tamanho e as mesmas entradas!
Logo, se e possuem o mesmo tamanho, elas devem ser quadradas! O mesmo vale para a antissimétrica, pois estamos invertendo linhas com colunas. Certo?
Dessa forma, se somarmos uma matriz simétrica com uma antissimétrica, estaríamos somando duas matrizes quadradas! E, com isso, teremos uma matriz quadrada como resultado. Concluindo que uma matriz quadrada pode ser expressa como a soma de uma simétrica com uma antissimétrica!
Beleza? Esse é o pensamento. Acabamos!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)