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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 42

[[2,x_1,-,2,x_2,=,4],[x_1,+,4,x_2,=,4]]

Passo 1

O método do Exemplo 8 diz que se tivermos um par de equação do tipo

u = a x + b y

v = c x + d y

Podemos reescrever como

[[[u],[v]]] = [[[a,x,+,b,y],[c,x,+,d,y]]]

[[[u],[v]]] = underset(A)(underset(⏝)([[[a,b],[c,d]]])) [[[x],[y]]]

E agora vem a parte legal, porque podemos multiplicar pela inversa de A dos dois lados

[[[a,b],[c,d]]]^(- 1) [[[u],[v]]] = underset(I)(underset(⏝)([[[a,b],[c,d]]]^(- 1) [[[a,b],[c,d]]])) [[[x],[y]]]

Resolvendo a inversa e simplificando

(1)/(a d - b c) [[[d,-,b],[-,c,a]]] [[[u],[v]]] = [[[x],[y]]]

Agora é só aplicar no nosso exercício.

Passo 2

[[2,x_1,-,2,x_2,=,4],[x_1,+,4,x_2,=,4]] => [[[4],[4]]] = [[[2,-,2],[1,4]]] [[[x_1],[x_2]]] =>

=> [[[2,-,2],[1,4]]]^(- 1) [[[4],[4]]] = underset(I)(underset(⏝)([[[2,-,2],[1,4]]]^(- 1) [[[2,-,2],[1,4]]])) [[[x_1],[x_2]]] =>

=> [[[2,-,2],[1,4]]]^(- 1) [[[4],[4]]] = [[[x_1],[x_2]]] => [[[x_1],[x_2]]] = (1)/(8 - ( - 2 )) [[[4,2],[-,1,2]]] [[[4],[4]]] = [[[x_1],[x_2]]] =>

(1)/(10) [[[4,2],[-,1,2]]] [[[4],[4]]] = [[[x_1],[x_2]]] => {[[(1)/(10),(16 + 8),=,x_1],[(1)/(10),(- 4 + 8),=,x_2]]) => {[[x_1,=,(24)/(10),=,(12)/(5)],[x_2,=,(4)/(10),=,(2)/(5)]])

Resposta

x_1 = (12)/(5) e x_2 = (2)/(5)

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