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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 8

[[x_1,+,2,x_2,+,3 x_3,=,b_1],[2,x_1,+,5,x_2,+,5 x_3,=,b_2],[3,x_1,+,5,x_2,+,8,x_3,=,b_3]]

Passo 1

O enunciado fala pra gente resolver esse sistema invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2 que diz que “Se A dor uma matriz invertível n xx n , então para cada matriz b de tamanho n xx 1 , o sistema de equações A x = b tem exatamente uma solução, a saber, x = A^(- 1) b ”. Então bora aplicar isso ai no nossos sistema.

Passo 2

Temos que

[[x_1,+,2,x_2,+,3 x_3,=,b_1],[2,x_1,+,5,x_2,+,5 x_3,=,b_2],[3,x_1,+,5,x_2,+,8,x_3,=,b_3]] => [[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[b_1],[b_2],[b_3]]] =>

=> underset(I)(underset(⏝)([[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]]^(- 1) [[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]])) [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]]^(- 1) [[[b_1],[b_2],[b_3]]] =>

=> [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]]^(- 1) [[[b_1],[b_2],[b_3]]]

Agora nossa matriz é de ordem maior que 2, então bora calcular a inversa dela através do algoritmo.

Passo 3

Nosso algoritmo diz pra operarmos [ A | I ] até chegarmos em [ I | X ] , onde X = A^(- 1) . Então bora lá

A = [[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]] => [A,I] = [[[[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]]],[[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]]] =>

=> [[],[L_2,=,L_2,-,2,L_1],[L_3,=,L_3,-,3,L_1]] = [[[[[[[1,2,3],[0,1,-,1],[0,-,1,-,1]]]]]],[[[[1,0,0],[-,2,1,0],[-,3,0,1]]]]] =>

=> [[],[],[,L_3,=,L_3,+,L_2]] = [[[[[[[1,2,3],[0,1,-,1],[0,0,-,2]]]]]],[[[[1,0,0],[-,2,1,0],[-,5,1,1]]]]] =>

=> [[],[],[,L_3,=,- (1)/(2) L_3]] = [[[[[[[1,2,3],[0,1,-,1],[0,0,1]]]]]],[[[[1,0,0],[-,2,1,0],[(5)/(2),-,(1)/(2),-,(1)/(2)]]]]] =>

=> [[],[,L_2,=,L_2,+,L_3],[,]] = [[[[[[[1,2,3],[0,1,0],[0,0,1]]]]]],[[[[1,0,0],[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[(5)/(2),-,(1)/(2),-,(1)/(2)]]]]] =>

=> [[,L_1,=,L_1,-,3,L_3],[],[]] = [[[[[[[1,2,0],[0,1,0],[0,0,1]]]]]],[[[[-,(13)/(2),(3)/(2),(3)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[(5)/(2),-,(1)/(2),-,(1)/(2)]]]]] =>

=> [[,L_1,=,L_1,-,2,L_2],[],[]] = [[[[[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]]]],[[[[-,(15)/(2),(1)/(2),(5)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[(5)/(2),-,(1)/(2),-,(1)/(2)]]]]] =>

Logo

A^(- 1) = [[[[[-,(15)/(2),(1)/(2),(5)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[(5)/(2),-,(1)/(2),-,(1)/(2)]]]]] = (1)/(2) [[[[[-,15,1,5],[1,1,-,1],[5,-,1,-,1]]]]]

Passo 4

Agora que encontramos a inversa da nossa matriz podemos finalmente resolver a equação

[[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[1,2,3],[2,5,5],[3,5,8]]]^(- 1) [[[b_1],[b_2],[b_3]]] =>

=> [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = (1)/(2) [[[[[-,15,1,5],[1,1,-,1],[5,-,1,-,1]]]]] [[[b_1],[b_2],[b_3]]] = [[x_1,=,(1)/(2),(,-,15,b_1,+,b_2,+,5,b_3,)],[x_2,=,(1)/(2),(,b_1,+,b_2,-,b_3,)],[x_3,=,(1)/(2),(,5,b_1,-,b_2,-,b_3,)]]

Logo x_1 = (1)/(2) ( - 15 b_1 + b_2 + 5 b_3 ) , x_2 = (1)/(2) ( b_1 + b_2 - b_3 ) e x_3 = (1)/(2) ( 5 b_1 - b_2 - b_3 )

Resposta

x_1 = - 1 , x_2 = 4 e x_3 = - 7

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