Encontre a inversa de ([[(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),)],[(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),)]])

Passo 1

Vamos primeiramente determinar uma equação para calcularmos a inversa de uma matriz

2 xx 2 .

Sendo A = ([[a,b],[c,d]]) , sua matriz inversa é dada por:

A^(- 1) = (1)/(d e t (A)) ([[d,d],[-,c,a]])

Passo 2

O determinante é calculado pegando o produto da diagonal principal e subtraindo do produto da diagonal secundária.

d e t (A) = a_11 a_22 - a_12 a_21

Analisando a matriz A = ([[(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),)],[(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),)]]) temos que seu determinante é dado por

det (A) = ((1)/(2) ( e^x + e^(- x) ) xx (1)/(2) ( e^x + e^(- x) )) - ( (1)/(2) ( e^x - e^(- x) ) xx (1)/(2) ( e^x - e^(- x) ) )

det (A) = (1)/(4) (e^x + e^(- x))^2 - (1)/(4) (e^x - e^(- x))^2

det (A) = (1)/(4) ( e^(2 x) + 2 e^x e^(- x) + e^(- 2 x) ) - (1)/(4) ( e^(2 x) - 2 e^x e^(- x) + e^(- 2 x) )

det (A) = (1)/(4) [e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x) - e^(2 x) - (- 2) - e^(- 2 x)]

det (A) = (1)/(4) [e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x) - e^(2 x) - (- 2) - e^(- 2 x)]

det (A) = (1)/(4) [2 + e^(- 2 x) + 2 - e^(- 2 x)]

det (A) = (1)/(4) [2 + e^(- 2 x) + 2 - e^(- 2 x)]

det (A) = (1)/(4) [2 + 2]

det (A) = (1)/(4) [4]

det (A) = (4)/(4) = 1

Logo, a matriz é invertível com determinante igual a 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda parte do teorema que consiste em inverter a diagonal principal e manter a diagonal secundária com os sinais trocados e multiplicar pelo inverso do determinante.

A^(- 1) = (1)/(1) ([[(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),),-,(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),)],[-,(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),)]])

A^(- 1) = ([[(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),),-,(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),)],[-,(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),)]])

Resposta

([[(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),),-,(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),)],[-,(1)/(2),(,e^x,-,e^(- x),),(1)/(2),(,e^x,+,e^(- x),)]])

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