Enunciado

Use a matriz A = ([[3,1],[5,2]]) para verificar que (A^T)^(- 1) = (A^(- 1))^T

Passo 1

Temos que verificar se a equação (A^T)^(- 1) = (A^(- 1))^T [e verdadeira. Para isso, vamos resolver cada lado separadamente;

Assim, o primeiro lado é:

(([[3,1],[5,2]])^T)^(- 1)

O segundo lado é:

(([[3,1],[5,2]])^(- 1))^T

Passo 2

Para resolver o primeiro lado da equação, vamos realizar a transposição da matriz A = ([[3,1],[5,2]])

A transposição consiste em transformar cada coluna em linha e cada linha em coluna. Assim, a matriz A^T é dada por

A^T = ([[3,5],[1,2]])

Passo 3

Agora, vamos inverter a matriz A^T = ([[3,5],[1,2]]) usando a equação A^(- 1) = (1)/(d e t (A)) ([[d,d],[-,c,a]]) tomando A uma matriz genérica A = ([[a,b],[c,d]]) .

Calculando o determinante, temos:

det (A^T) = (3 xx 2) - ( 5 xx 1 )

det (A^T) = 6 - 5

det (A^T) = 1

Aplicando na equação A^(- 1) = (1)/(d e t (A)) ([[d,d],[-,c,a]])

( A^T )^(- 1) = (1)/(1) ([[2,-,5],[-,1,3]])

Passo 4

Nessa etapa, temos que resolver o segundo lado da equação e comparar com a matriz obtida.

Vamos inverter a matriz A = ([[3,1],[5,2]]) usando a equação A^(- 1) = (1)/(d e t (A)) ([[d,d],[-,c,a]]) tomando A uma matriz genérica A = ([[a,b],[c,d]]) .

Calculando o determinante, temos:

det (A) = (3 xx 2) - ( 1 xx 5 )

det (A) = 6 - 5

det (A) = 1

Agora é aplicar na equação A^(- 1) = (1)/(d e t (A)) ([[d,d],[-,c,a]])

A^(- 1) = (1)/(1) ([[2,-,1],[-,5,3]])

A^(- 1) = ([[2,-,1],[-,5,3]])

Passo 5

Para realizar a transposição consiste em transformar cada coluna em linha e cada linha em coluna. Assim, a matriz (A^(- 1))^T é dada por

(A^(- 1))^T = ([[2,-,1],[-,5,3]])^T

(A^(- 1))^T = ([[2,-,5],[-,1,3]])

Resposta

Logo, a equação (A^T)^(- 1) = (A^(- 1))^T é satisfeita.

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