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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 2a

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2

    2. ( x , y ) → x + y , x - y

  2. g : R 2 → R

    3. ( x , y ) → x y

  3. h : M 2 → R

    4. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  4. k : P 2 → P 3

    5. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  5. M : R 3 → R 2

    6. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  6. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos dar uma olha nessa questão, que trata de a gente testar duas condições para checar se nosso item a) é ou não uma transformação linear.

Passo 2

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Passo 3

No item a temos ( x , y ) → x + y , x - y . Então podemos escrever dois vetores u   e   v da seguinte maneira:

  u = x 1 ,   y 1 → x 1 + y 1 , x 1 - y 1 v = x 2 ,   y 2 → x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2

Testando se nossa transformação é fechada para soma:

T x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = T x 1 ,   y 1 + T [ x 2 ,   y 2 ]

Lembrando que do lado esquerdo estamos somando vetores, então a primeira coordenada do primeiro vetor somamos com a primeira coordenada do segundo vetor, e fazemos o mesmo com a segundas coordenadas desses vetores:

T u + v = T x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = T x 1 + x 2 , y 1 + y 2 = [ x 1 + x 2 + y 1 + y 2 , x 1 + x 2 - y 1 + y 2 ]

Precisamos checar se esse resultado é igual ao lado direito da nossa equação:

T x 1 ,   y 1 + T x 2 ,   y 2 = x 1 + y 1 ,   x 1 - y 1 + x 2 + y 2 ,   x 2 - y 2 = x 1 + y 1 + x 2 + y 2 ,   x 1 - y 1 + x 2 - y 2

Reorganizando os termos nesse resultado:

x 1 + y 1 + x 2 + y 2 ,   x 1 - y 1 + x 2 - y 2 = = [ x 1 + x 2 + y 1 + y 2 , x 1 + x 2 - y 1 + y 2 ]

Reparem que temos que nosso primeiro resultado é igual ao segundo resultado, logo, podemos afirmar que essa transformação é fechada para soma.

Passo 4

Testando nosso segundo requisito agora:

T k v = k T v

Dessa vez vou trabalhar simultaneamente ambos os lados:

T k x 1 , y 1 = k ( x 1 + y 1 ,   x 1 - y 1 )

k x 1 + y 1 , x 1 - y 1 = k x 1 + y 1 , k x 1 - y 1

k x 1 + y 1 , k x 1 - y 1 = k x 1 + y 1 , k x 1 - y 1

T k v = k T v

Logo, podemos confirmar que o item a) é transformação linear.

Resposta

Sim, é uma transformação linear

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Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 com base β = 1 00 0 , 0 01 0 , 0 10 0 , 0 00 1 . Se T : V → R 2 é dada por T a cb d = a + d , b + c Ache T α β onde α é a base canônica de R 2 .Se S : R 2 →
Se R = 1 - 12 3 e S = 1 20 1- 1 1 , ache R ∘ S .
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x
No Exercício 11 determine ker ⁡ T , I mT , I mS , ker ⁡ S e comprove a validade dos teoremas 5.3.9 e 5.4.5 para estas transformações.
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x