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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 26b

E se V é autovetor de A k , então V é autovetor de A ? (Sugestão: veja o que acontece com uma matriz nilpotente)

Passo 1

Bom, pessoal, aqui parece muito intuitivo que essa afirmação seja verdade. Mas, olhando o exemplo da matriz nilpotente, podemos ter algo do tipo:

⎜       0                 1                 0           ⋯             0       ⎜

⎜       0                 0                 1           ⋯             0       ⎜

⎜ ⋯       ⋯       ⋯       ⋯       ⋯   ⎜

⎜       0                 0                 0           ⋯             1       ⎜

⎜       0                 0                 0           ⋯             0       ⎜

Essa matriz é nilpotente (dá uma olhadinha na resolução do exercício 1.1.29), ou seja, A k = 0 ̄ para algum valor de k . Então, nesse caso, temos A k V = 0 para qualquer vetor V . Mas, como você pode notar acima, A V ≠ 0 . Assim, a afirmação do enunciado é falsa. Entendeu?

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (a ){ ( 1,1 , 2 ) ,( 1,0 , 0 ) ,( 4,6 , 12 ) } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (c) {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)}
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de V 1 = ( 5 , - 3,1 ) , V 2 = ( 0,4 , 3 ) e V 3 = ( - 10,18,7 ) ?
Defina os vetores V1 = [1; 2; 3], V2 = [3; 4; 5] e V3 = [6; 6; 7]. Defina o vetor aleatório V = randi(3, 1). Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.
Seja A uma matriz nxn. Mostre que det(A) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas é combinação linear das outras.