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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 21

Se V   e W são autovetores associados a um autovalor λ , então W - p r o j V   W é também um autovetor associado a λ ? E se V   e W forem autovetores associados a autovalores diferentes?

Passo 1

Fala, galera! Ficou confuso com essa questão? Não se preocupe que a gente Responde Aí.

Lembra que

p r o j V   W = V ⋅ W | V | 2 V ?

Então, como A V = λ V e A W = λ W , e V ⋅ W | W | 2 é um número, então o operador A não atua sobre ele

A ( p r o j V   W ) = V ⋅ W | V | 2 ( A V ) = λ V ⋅ W | V | 2 V

Ok, então temos

A ( W - p r o j V   W ) = λ W - V ⋅ W | V | 2 V = λ W - p r o j V   W

Ou seja, W - p r o j V   W também é um autovetor associado a λ .

Passo 2

Se V   e W forem autovetores associados a autovalores diferentes, então A ( W - p r o j V   W ) ≠ λ W - p r o j V   W . Então, A ( W - p r o j V   W ) não vai ter o mesmo autovalor que V e W .

Resposta

Veja a resolução acima.

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Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 × 3 . Verificar se { A ,B ,C } é L I ou L D , sendo: A = - 1 2 13 - 2 4 B = 0 - 1 2 - 2 1 0 C = - 1 0 5 - 1 0 3
Determinar k para que{[[[1,0],[1,0]]] , [[[1,1],[0,0]]] , [[[2,-,1],[k,0]]]} seja L D .
Mostrar que se u , v e w são L I , então u + v , u + w e v + w são também L I .
Determinar o valor de k para que seja L I o conjunto{ (- 1 , 0 , 2) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( k , - 2 , 0 ) }
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .