Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 14
Utilize a forma diagonal para encontrar nos seguintes casos ( natural):
Você pode generalizar o seu procedimento para o caso de uma matriz quadrada qualquer? Quais são as condições?
Passo 1
a)
Para encontrar a forma diagonal, vamos encotrar os autovalores:
Logo, sua forma diagonal é:
Sabemos que se uma matriz é diagonalizável, então existe uma matriz tal que:
Veja então que:
E podemos fazer:
Dai é só repetir o processo vezes:
Mas:
Agora é só achar e .
Como fazemos isso? Lembre-se que é a matriz de mudança de base da base dos autovetores para a base canônica, isto é, seja a base canônica e a base dos autovetores:
Isso nos permite dizer que as colunas de são os vetores colunas autovetores de na base canônica (verifique!).
Passo 2
Encontrando os autovetores, obtemos:
Logo:
Passo 3
b)
Basta repetir os mesmo passos do item anterior:
De autovalores .
Calculando seus autovetores:
Disso, temos que:
E:
Da nossa discussão anterior:
Passo 4
A generalização está descrita no item a) e resumimos abaixo:
- Encontre os autovalores;
- Encontre os autovetores;
- A partir dos autovetores escontre as matrizes de mudança de base e ;
- Use que ;
- Mulitiplique por elas mesma vezes: .
Para que isso seja possível deve ser diagonalizável.
Resposta
Demonstração.