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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.2 - Ex. 5c

Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes

A = - 1 - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 2 - 2 2 2 1 4 2 2 4 1

Passo 1

Nós temos

A = - 1 - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 2 - 2 2 2 1 4 2 2 4 1

Nós podemos simplificar essa matriz, somando a Linha 1 com a Linha 2 e a Linha 3 com a Linha 4.

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

- 1 - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 2 - 2 2 2 1 4 2 2 4 1 - λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = - 1 - λ - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - λ - 2 - 2 2 2 1 - λ 4 2 2 4 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Ixi, uma matriz 4 × 4 , não é tão fácil assim de resolver né? Vamos usar o Teorema de Laplace

O Teorema de Laplace é uma maneira de encontrar o determinante de uma matriz n × n . Podemos usar o 2, presente na última linha e na primeira coluna, como cofator

Ai faremos

2 × - 4 - 2 - 2 - 1 - λ - 2 - 2 2 1 - λ 4

Assim

2 × - 4 - 2 - 2 - 1 - λ - 2 - 2 2 1 - λ 4 - 4 - 2 - 1 - λ - 2 2 1 - λ  

O determinante será

2 × 256 - 1 - λ 1 - λ - 1 - λ × 16 - 1 - λ = 36 - 4 λ 2

Igualando a zero pra encontrar o valor próprio

36 - 4 λ 2 = 0 → λ 2 = 9

Assim

λ 1 = λ 2 = 3             e             λ 3 = λ 4 = - 3

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = λ 2 = 3

- 1 - λ - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - λ - 2 - 2 2 2 1 - λ 4 2 2 4 1 - λ = - 4 - 4 - 2 - 2 - 4 - 4 - 2 - 2 2 2 - 2 4 2 2 4 - 2

Colocando no sisteminha de equações

- 4 - 4 - 2 - 2 - 4 - 4 - 2 - 2 2 2 - 2 4 2 2 4 - 2 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Assim a matriz estendida é

- 4 - 4 - 2 - 2 0 - 4 - 4 - 2 - 2 0 2 2 - 2 4 0 2 2 4 - 2 0

Simplificando

1 1 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x 1 + x 2 + x 4 = 0 x 3 - x 4 = 0 x 2 = t x 4 = s → x 1 = - x 2 - x 4 x 3 = x 4 x 2 = t x 4 = s → x 1 = - t - s x 3 = s x 2 = t x 4 = s

Logo o vetor é

t - 1 0 1 0       e         s - 1 1 0 1

Passo 4

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 3 = λ 4 = - 3

- 1 - λ - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - λ - 2 - 2 2 2 1 - λ 4 2 2 4 1 - λ = 2 - 4 - 2 - 2 - 4 2 - 2 - 2 2 2 4 4 2 2 4 4

Colocando no sisteminha de equações

2 - 4 - 2 - 2 - 4 2 - 2 - 2 2 2 4 4 2 2 4 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Assim a matriz estendida é

2 - 4 - 2 - 2 0 - 4 2 - 2 - 2 0 2 2 4 4 0 2 2 4 4 0

Simplificando

- 1 - 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

x 1 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 3 = t x 4 = s → x 1 = - x 3 - x 3 x 3 = - x 3 - x 4 x 3 = t x 4 = s → x 1 = - t - s x 3 = - t - s x 3 = t x 4 = s

Logo o vetor é

t - 1 - 1 1 0       e       s - 1 - 1 0 1

Passo 5

Juntando os autovalores, teremos a matriz

3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 - 3

Assim, colocando os autovetores na indicação dos autovalores, temos M igual a

M = - 1 - 1 - 1 - 1 0 1 - 1 - 1 1 0 1 0 0 1 0 1

Resposta

M = - 1 - 1 - 1 - 1 0 1 - 1 - 1 1 0 1 0 0 1 0 1

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Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:b) 2 1 1 2
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:h) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os autovalores de A são os elementos da diagonal principal de A.
Mostre que A é singular se, e somente se, 0 for um autovalor de A.
Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λ k é um autovalor de A k = A … A associado a X, em que k é um inteiro positivo.