Enunciado

Determinar M in M_2 ( R ) inversível tal que M^(- 1) A M seja diagonal onde

([[2,0,4],[3,-,4,12],[1,-,2,5]])

Passo 1

Nós temos

A = ([[2,0,4],[3,-,4,12],[1,-,2,5]])

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ( A - I lambda ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o lambda é o valor que queremos descobrir, logo

I = ([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]) e I lambda = ([[lambda,0,0],[0,lambda,0],[0,0,lambda]])

Passo 2

Vamos subtrair

([[2,0,4],[3,-,4,12],[1,-,2,5]]) - ([[lambda,0,0],[0,lambda,0],[0,0,lambda]]) = ([[2,-,lambda,0,4],[3,-,4,-,lambda,12],[1,-,2,5,-,lambda]])

Certinho? Então descobrimos A - I lambda , agora falta colocar no determinante!

|[[2,-,lambda,0,4],[3,-,4,-,lambda,12],[1,-,2,5,-,lambda]]| [[2,-,lambda,0],[3,-,4,-,lambda],[1,-,2]]

3 lambda^2 - lambda^3 - lambda

Finalmente, para encontrar os autovalores temos que igualar a zero. Como todos os termos podemos colocar lambda em evidência, fazemos Bhaskara.

- lambda ( lambda^2 - 3 lambda + 1 )

Automaticamente, os autovalores serão

lambda_1 = 0 , lambda_2 = 1 , lambda_4 = 2

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando lambda_1 = 0

([[2,-,lambda,0,4],[3,-,4,-,lambda,12],[1,-,2,5,-,lambda]]) = ([[2,0,4],[3,-,4,12],[1,-,2,5]])

Colocando no sisteminha de equações

([[2,0,4],[3,-,4,12],[1,-,2,5]]) ([[x_1],[x_2],[x_3]]) = ([[0],[0],[0]])

Assim a matriz estendida é

([[2,0,4,0],[3,-,4,12,0],[1,-,2,5,0]])

Simplificando

([[1,0,2,0],[0,1,-,(3)/(2),0],[0,0,0,0]])

{[[x_1 + 2 x_3 = 0],[x_2 - (3)/(2) x_3 = 0],[x_3 = t]]) -> {[[x_1 = - 2 x_3],[x_2 = (3)/(2) x_3],[x_3 = t]]) -> {[[x_1 = - 2 t],[x_2 = (3)/(2) t],[x_3 = t]])

Logo o vetor é

([[-,2],[(3)/(2)],[1]])

Passo 4

Agora vamos pro vetor próprio usando lambda_2 = 1

([[2,-,lambda,0,4],[3,-,4,-,lambda,12],[1,-,2,5,-,lambda]]) = ([[1,0,4],[3,-,5,12],[1,-,2,4]])

Colocando no sisteminha de equações

([[1,0,4],[3,-,5,12],[1,-,2,4]]) ([[x_1],[x_2],[x_3]]) = ([[0],[0],[0]])

Assim a matriz estendida é

([[1,0,4,0],[3,-,5,12,0],[1,-,2,4,0]])

Simplificando

([[1,0,4,0],[0,1,0,0],[0,0,0,0]])

{[[x_1 + 4 x_3 = 0],[x_2 = 0],[x_3 = t]]) -> {[[x_1 = - 4 x_3],[x_2 = 0],[x_3 = t]]) -> {[[x_1 = - 4 t],[x_2 = 0],[x_3 = t]])

Logo o vetor é

([[-,4],[0],[1]])

Passo 5

Agora vamos pro vetor próprio usando lambda_3 = 2

([[2,-,lambda,0,4],[3,-,4,-,lambda,12],[1,-,2,5,-,lambda]]) = ([[0,0,4],[3,-,6,12],[1,-,2,3]])

Colocando no sisteminha de equações

([[0,0,4],[3,-,6,12],[1,-,2,3]]) ([[x_1],[x_2],[x_3]]) = ([[0],[0],[0]])

Assim a matriz estendida é

([[0,0,4,0],[3,-,6,12,0],[1,-,2,3,0]])

Simplificando

([[1,-,2,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,0]])

{[[x_1 - 2 x_2 = 0],[x_3 = 0],[x_2 = t]]) -> {[[x_1 = 2 x_2],[x_2 = 0],[x_3 = t]]) -> {[[x_1 = 2 t],[x_2 = 0],[x_3 = t]])

Logo o vetor é

([[2],[0],[1]])

Passo 6

Juntando os autovalores, teremos a matriz

([[0,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])

Assim, colocando os autovetores na indicação dos autovalores, temos M igual a

M = ([[-,2,-,4,2],[(3)/(2),1,0],[1,1,1]])

Resposta

M = ([[-,2,-,4,2],[(3)/(2),1,0],[1,1,1]])

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