Um banco europeu dispõe de 100 milhões de euros para aplicar imediatamente.

Duas opções lhe são oferecidas:

Opção A: 10% ao ano, baixa liquidez.

Opção B: 5% ao ano, alta liquidez.

A diretoria decide que, por segurança, o total investido na opção A no máximo será 3 vezes o que foi investido na opção B. O objetivo do banco é receber o máximo de juros dentro dessas condições. Quantos euros em cada opção deve o banco investir?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos definir as seguintes variáveis para o nosso problema:

X: milhões de euros aplicado na opção A.

Y: milhões de euros aplicado na opção B.

Analisando o contexto do problema temos as seguintes desigualdades:

x + y ≤ 10 0     t o t a l   d o   i n v e s t i m e n t o

x ≥ 3 y   ( d i s t r i b u i ç ã o   e n t r e   a s   o p ç õ e s )

Além disso, é óbvio que o valor aplicado em cada opção precisa ser maior ou igual a zero, logo: x ≥ 0 ; y ≥ 0

Representando cada uma dessas desigualdades no plano cartesiano, temos a seguinte região:

Passo 2

Desejamos agora encontrar nessa região os valores para X e Y que maximizem os juros obtidos, que é dado pela função:

J x , y = 1,10 x + 1,05 y

Uma vez que o aumento da opção A é de 10% e da opção B é de 5%.

Um método prático de achar o ponto de máximo da função J consiste em calcular L(P) para todo vértice P da nossa região R e ver qual desses valores é o maior.

Observando melhor a região, conseguimos determinar os vértices A = (0,100), B = (0,0) e C = (75,25) como potenciais candidatos a maximizar o lucro, mas de antemão podemos descartar o ponto B onde nenhum dinheiro foi aplicado.

Calculando os Juros, em A e C, temos que:

J A = 1,10 . 0 + 1,05 . 100 = 105

J C = 1,1 0 . 75 + 1,05 . 25 = 108,75

Logo, percebemos que a melhor solução é o ponto C, ou seja, para maximizar os juros obtido banco deve aplicar 75 milhões na opção A e 25 milhões na opção B.

Resposta

75 milhões na opção A e 25 milhões na opção B.

Exercícios de Livros Relacionados