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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 35

Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz mudança de base I α α ?

Passo 1

Faalaa.. beleza??

Vamos pegar uma(beem genéricas) de um certo espaço vetorial qualquer:

α = u 1 , u 2 , … , u n

E se liga só... Pra gente enxergar melhor, mas pegar só quando essa base for até n = 2 .

α = u 1 , u 2

E ainda mais imaginemos:

u 1 = x u 1 , y u 1

u 2 = x u 2 , y u 2

Passo 2

Imagina que queremos passar dois vetores quaisquer também v = x 1 , y 1 e w = x 2 , y 2 da base α para a própria base α . (queremos escrever os vetores como combinação linear na “outra”base)

Ficamos com:

x 1 , y 1 = x u 1 x 1 , y 1 + y u 1 x 2 , y 2

x 2 , y 2 = x u 2 x 1 , y 1 + y u 2 x 2 , y 2

Então teremos:

x 1 = x u 1 x 1 + y u 1 x 2 x 2 = x u 2 x 1 + y u 2 x 2

Dá uma olhada na primeira equação. Essa igualdade só vai ser verdade quando x u 1 = 1 e y u 1 0 .

Da mesma forma, pra segunda equação: x u 2 = 0 e y u 2 = 1 .

Então a matriz mudança de base:

T α α = 1 0 0 1

Que é bem a matriz identidade de ordem 2.

Passo 3

Agorraaa precisamos generalizar isso. Se fizermos pra n chegamos em:

x 1 , y 1 ,   … , z 1 = x u 1 x 1 , y 1 , … , z 1 + y u 1 x 2 , y 2 , … , z 2 + … + z u 1 x n , y n , … , z n

x 2 , y 2 , … , z 2 = x u 2 x 1 , y 1 , … , z 1 + y u 2 x 2 , y 2 , … , z 2 + … + z u 2 x n , y n , … , z n

…

x n , y n , … , z n = x u n x 1 , y 1 , … , z 1 + y u n x 2 , y 2 , … , z 2 + … + z u n x n , y n , … , z n

E ficamos com um sistemão:

x 1 = x u 1 x 1 + y u 1 x 2 + … + z u 1 x n x 2 = x u 2 x 1 + y u 2 x 2 + … + z u 2 x n … x n = x u n x 1 + y u n x 2 + … + z u n x n

E só vamos ter essas igualdades aí quando:

x u 1 = 1

y u 2 = 1

z u n = 1

E resto todo zero, certo?

Então a matriz mudança de base:

T α α = 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1

Que é a matriz identidade de ordem n .

Portanto a matriz mudança de base vai ser sempre a matriz identidade.

T α α = I n

Resposta

T α α

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