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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 11

a Mostre que o conjunto W de todos os polinômios em P 2 tais que p 1 = 0 é um subespaço de P 2 .

b Faça uma conjectura sobre a dimensão de W .

c Confirme sua conjectura encontrando uma base de W .

Passo 1

O conjunto W de polinômios em P 2 , de modo que p ( 1 ) é um subespaço de P 2 somente quando definido não vazio e fechado em adição e multiplicação escalar. Seja p   ( 1 ) = 0 ,   ( x - 1 ) é um fator dos polinômios P , então o conjunto   W pode ser escrito na forma

P x = x - 1 ⋅ q x

Suponha que Q e R   sejam dois elementos de W , então

Q + R ⋅ 1 = 0 + 0 = 0 ,   Q + R   ∈ W

Sendo k um escalar, teremos

k ⋅ Q 1 = k ⋅ 0 = 0 ,   e n t ã o   k Q ∈ W

Portanto, o conjunto W é fechado em adição e multiplicação escalar, então o conjunto W é um subespaço de P 2 .

Passo 2

Pois bem, dando prosseguimento à nossa resolução vamos ter que a dimensão   W pode ser determinada encontrando o V   s p a n   V de W que é independente. Tomando

V = x - 1 , x 2 - 2 x + 1

Sendo P um elemento de W então

P x = x - 1 ⋅ q x

Onde q x = a x + b é um vetor teremos

P x = x - 1 ⋅ a x + b

P x = a x 2 + b c - a x - b

P x = a x 2 - 2 a x + a - a + a x + y x - b

P x = a x + b c - a - b + a x 2 - 2 a x + a

P x = a x + b x - a - b + a ⋅ x - 1 2

Se q x é um escalar q x = a e teremos

P x = a ⋅ x - 1 + 0 ⋅ x 2 - 2 x + 1

Consequentemente

P x = a + b ⋅ x - 1 + a ⋅ x 2 - 2 x + 1

P x = a + b ⋅ x - 1 + a ⋅ x - 1 2

Como fizemos isso supondo que a dimensão de W é 2 podemos concluir que ela assim pode ser de fato.

Passo 3

O polinômio em P é na forma

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Se p 1 = 0 então

a 0 + a 1 + a 2 = 0 → a 0 = - a 1 - a 2

Quando nós reescrevemos a 0 = - a 1 - a 2 em p x vamos obter

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 → p x = - a 1 - a 2 + a 1 x + a 2 x 2

p x = a 1 ⋅ x - 1 + a 2 ⋅ x - 1 2

Portanto, nossa base possui 2 vetores o que implica que sua dimensão será 2.

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o

b   a   d i m e n s ã o   d e   W   p o d e   s e r   2

c   A   d i m e n s ã o   é   2

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