Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 9
Encontre a dimensão de cada um dos seguintes espaços vetoriais.
O espaço vetorial de todas as matrizes de diagonais;
O espaço vetorial de todas as matrizes de simétricas;
O espaço vetorial de todas as matrizes de triangulares superiores.
Passo 1
Desejamos encontrar a dimensão de cada um dos espaços vetoriais descritos no problema. Na prática, isso que significa que precisaremos encontrar com quantos vetores podemos escrever todo nosso espaço vetorial descrito, então, para o nosso primeiro caso vamos ter que como uma matriz diagonal tem apenas entradas no total, a dimensão da matriz diagonal será igual ao quadrado do seu número de elementos diagonais que será .
Passo 2
Já para o nosso segundo caso vamos ter que para uma matriz simétrica onde temos dois elementos serão iguais para essa matriz e o número de todas essas combinações será igual a combinação onde
Passo 3
Por fim, para concluirmos nosso exercício temos que no último caso onde temos matrizes triangulares superiores, a dimensão também será dada através da combinação de escolhe . Então, será dada por