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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 14

Seja { v 1 , v 2 , v 3 } uma base de um espaço vetorial V . Mostre que u 1 , u 2 , u 3 também é uma base, sendo u 1 = v 1 ,   u 2 = v 1 + v 2 e u 3 = v 1 + v 2 + v 3

Passo 1

Temos que o conjunto { v 1 , v 2 , v 3 } é uma base de V , sendo assim, qualquer v ∈ V pode ser escrito como sendo

V = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3

Desejamos mostrar que o conjunto u 1 , u 2 , u 3 também é uma base, dadas as condições mencionadas no enunciado. Tomemos então

x u 1 + y u 2 + z u 3 = 0

→ x v 1 + y ⋅ v 1 + v 2 + z ⋅ v 1 + v 2 + v 3 = 0

→ v 3 x + v 2 ⋅ y + z + v 1 ⋅ x + y + z = 0

Como v 1 , v 2 , v 3 são linearmente independentes porque o conjunto que os contém é base, então

x + y + z = 0 ,     y + z = 0 ,     z = 0

→ x = y = z = 0

Consequentemente

x u 1 + y u 2 + z u 3 = 0 → x = y = z = 0

Dessa forma u 1 , u 2   e   u 3 são linearmente independentes entre si e nós podemos representar como v ∈ V então

u = α u 1 + β u 2 + γ u 3

Portanto, o conjunto { u 1 , u 2 , u 3 } também é uma base para V .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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