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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios Propostos - Ex. 24

B   =   ( u → ,   v → ,   w → ) é uma base ortonormal positiva.

  1. Determine u → , sabendo que ele é paralelo ao vetor ( 2 , - 1,2 ) .
  2. Determine v → , sabendo que é da forma ( x , y , 0 ) .
  3. Determine a que w → .

Passo 1

Galera, vamos resolver os três itens ao mesmo tempo. Como u → é paralelo ao vetor ( 2 , - 1,2 ) , então u → = α ( 2 , - 1,2 ) . Também já vamos usar a informação do item b), que v → é da forma ( x , y , 0 ) . O vetor w → será da forma w → = ( a , b , c ) . Assim, temos seis incógnitas para determinar: α , x , y , a , b , c .

Passo 2

Vamos continuar agora calculando os produtos vetoriais:

  • Do primeiro vetor com o segundo:

    • Então,

    a = - 2 y α

    b = 2 x α

    c = α ( 2 y + x ) = - a + b 2

  • Do segundo vetor com o terceiro:

    • Temos

    2 α = y c = y ( - a + b 2 )

    α = x c

    2 α = x b - y a

    onde substituímos c = - a + b 2 . Igualando a primeira e a terceira equações, obtemos

    y ( - a + b 2 ) = x b - y a ⇒ y b 2 = x b ⇒ y = 2 x

    Por enquanto, temos

    u → = x ( - a + b 2 ) ( 2 , - 1,2 )

    v → = ( x , y , 0 ) = ( x , 2 x , 0 )

    w → = ( a , b , - a + b 2 )

  • Do terceiro vetor com o primeiro:

α ( 2 b + c ) = x ⇒ α ( 2 b - a + b 2 ) = α ( 5 2 b - a ) = x

α ( 2 c - 2 a ) = 2 x ⇒ α ( c - a ) = x ⇒ α ( - a + b 2 - a ) = α ( - 2 a + b 2 ) = x

α ( - a - 2 b ) = 0 ⇒ a = - 2 b

Substituindo a = - 2 b na primeira equação, obtemos

x = α ( 5 2 b - a ) = α ( 5 2 b + 2 b ) = 9 2 α b

Além disso,

c = - a + b 2 = 5 2 b

Então, escrevemos quase tudo em termos de b , exceto:

α = x c = 5 2 b ⋅ 9 2 α b = 45 4 α b 2 = 3 2 ⋅ 5 4 α b 2 ⇒ b 2 = 4 3 2 5 ⇒ b   = 2 3 5

x = 9 2 α b = 9 2 α   2 3 5   = 3 5 α  

Vamos substituir os resultados acima em:

b = 2 x α   ⇒   2 3 5   = 2 ⋅ 3 5 α 2   ⇒ α 2     =   1 9   ⇒   α   =   1 3

Logo,

x = 3 5 1 3   =   1 5 ; b = 2 3 5 ;   α   =   1 3

Passo 3

Agora, só precisamos substituir x =   1 5 ; α   =   1 3 e b = 2 3 5 nas demais incógnitas:

u → = α ( 2 , - 1,2 )   =   1 3 ( 2 , - 1,2 )

v → = ( x , 2 x , 0 )   = 1 5 ( 1,2 , 0 )  

w → = ( a , b , - a + b 2 )   = b ( - 2,1 , 5 2 )   =   2 3 5 ( - 2,1 , 5 2 )   = 1 3 5 ( - 4,2 , 5 )    

Resposta

u → = 1 3 ( 2 , - 1,2 )

v → = 1 5 ( 1,2 , 0 )

w → = 1 3 5 ( - 4,2 , 5 )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinada por u → = ( m ,- 3 ,1 ) e v → = ( 1 , - 2 ,2 ) seja igual a 26 .
Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u → e v → , sabendo que suas diagonais são u → + v → = ( - 1 ,3 ,4 ) e u → - v → = ( 1 ,- 2 ,2 ) .
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