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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios Propostos - Ex. 29

Verdadeiro ou falso?Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê contra-exemplo:

  1. se a →   +   b → +   c →   =   0 , então a →   ∧   b →   = b →   ∧   c →     = c   →   ∧   a → ;
  2. se a →   ∧   b →   = b →   ∧   a → , então a →   e b →   são paralelos;
  3. a →   ∧   b →   = a →   ∧   c → implica b →   = c → .

Passo 1

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  1. Vamos analisar bem a afirmação: se a →   +   b → +   c →   =   0 , então a →   ∧   b →   = b →   ∧   c →     = c   →   ∧   a → . Considerando que a primeira parte é verdadeira, podemos escrever

    2. a →   = -   b → -   c →  

    Vamos usar esse resultado para testar se a consequência a →   ∧   b →   = b →   ∧   c →     = c   →   ∧   a → é verdadeira:

    a →   ∧   b → = ( -   b → -   c → ) ∧   b → = -   b → ∧   b → -   c → ∧   b → = -   c → ∧   b → =   b → ∧   c →

    Ok, a primeira igualdade está correta. Vamos ver se a última também está:

    c   →   ∧   a → = c   →   ∧   ( -   b → -   c → ) = - c   →   ∧     b →   - c   →   ∧   c → = - c   →   ∧     b →   =   b → ∧   c →

    Logo, a afirmação é verdadeira.

    Passo 2

  2. se a →   ∧   b →   = b →   ∧   a → , então a →   e b →   são paralelos. Vamos assumir que a →   e b →   são paralelos e ver se a afirmação faz sentido. Nesse caso, temos que ter a → = λ b → . Então,

    3. a →   ∧   b →   = ( λ b → ) ∧   b → = b → ∧ ( λ   b →   ) = b →   ∧   a →

    Assim, vemos que a afirmação é verdadeira.

    Passo 3

  3. A primeira vista a →   ∧   b →   = a →   ∧   c → implica b →   = c → parece razoável. Mas o que acontece quando a →   = 0 ? A equação a →   ∧   b →   = a →   ∧   c → mesmo que b →   ≠ c → . Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

Veja a resolução acima.

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