Enunciado

Mostrar que o quadrilátero A B C D de vértices A 4 ,   1 ,   2 ,   B 5 ,   0 ,   1 ,   C ( - 1,2 , - 2 ) e D ( - 2 ,   3 , - 1 ) é um paralelogramo e calcular sua área.

Passo 1

Primeiro, vamos fazer um esboço do nosso quadrilátero A B C D :

Passo 2

Precisamos mostrar o quadrilátero em questão é um paralelogramo, certo? Mas o que vem a ser um paralelogramo?

Direto ao ponto: um paralelogramo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) e seus lados opostos são paralelos. Por consequência, ele tem ângulos opostos e lados opostos congruentes (possuem a mesma forma e o mesmo tamanho).

Dados os pontos A 4 ,   1 ,   2 ,   B 5 ,   0 ,   1 ,   C ( - 1,2 , - 2 ) e D ( - 2 ,   3 , - 1 ) , vamos verificar se os vetores que formam os lados do polígono A B C D é um paralelogramo.

Ao encontrarmos os lados, temos:

Lado A B representado pelo vetor A B → :

A B → = B - A = 5 ,   0 ,   1 - 4 ,   1 ,   2 = 1 ,   - 1 , - 1

E o seu módulo:

A B → = 1 2 + - 1 2 + - 1 2 = 3

Passo 3

Lado B C representado pelo vetor B C → :

B C → = C - B = - 1 ,   2 ,   - 2 - 5 ,   0 ,   1 = - 6 ,   2 , - 3

E o seu módulo:

B C → = ( - 6 ) 2 + 2 2 + - 3 2 = 49 = 7

Passo 4

Lado C D representado pelo vetor C D → :

C D → = D - C = - 2 ,   3 ,   - 1 - - 1 ,   2 , -   2 = - 1 ,   1,1

E o seu módulo:

C D → = ( - 1 ) 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Passo 5

Lado D A representado pelo vetor D A → :

D A → = A - D = 4 ,   1 ,   2 - - 2 ,   3 ,   - 1 = 6 ,   - 2 , 3

E o seu módulo:

A B → = 6 2 + - 2 2 + 3 2 = 49 = 7

Portanto, podemos verificar que A B → = C D → = 3 e B C → = D A → = 7 , logo, o polígono A B C D é um paralelogramo. 😊

Passo 6

Por fim, para encontrarmos a área, vamos escolher dois vetores NÃO paralelos do polígono e calcular a área utilizando o módulo do produto vetorial entre eles.

Escolhendo os vetores A B → = ( 1 , - 1 , - 1 ) e B C → = ( - 6 ,   2 , - 3 ) , temos:

A B → × B C → = i → j → k → 1 - 1 - 1 - 6 2 - 3 = 3 i → + 6 j → + 2 k → - - 2 i → - 3 j → + 6 k → = ( 5 i → + 9 j → - 4 k → )

A B → × B C → = 5 2 + 9 2 + - 4 2 = 122

Portanto, a área do paralelogramo é 122 . 😉

Resposta

A área do paralelogramo é 122 .

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