Enunciado

Sabendo que u → = 6 ,   v → = 4 e 30 ° o ângulo entre u → e v → , calcular:

c) a área do paralelogramo determinado por u → + v → e u → - v → .

Passo 1

Primeiro, vamos fazer um esboço do nosso problema:

Passo 2

Dado que u → = 6 ,   v → = 4 e 30 ° é o ângulo entre u → e v → :

Como as diagonais formam triângulos, podemos utilizar os conceitos de trigonometria ao utilizar a lei dos cossenos, vamos relembrá-la:

Como característica de um paralelogramo, temos que os ângulos dos vértices opostos do paralelogramo são congruentes:

Para utilizarmos a lei dos cossenos temos que:

u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 . u → . v → . cos ⁡ 30 °

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 . u → . v → . cos ⁡ 30 °

Passo 3

Vamos calcular o módulo de u → - v → e u → + v → utilizando a lei dos cossenos:

u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 . u → . v → . cos ⁡ 30 °

u → - v → 2 = ( 6 ) 2 + ( 4 ) 2 - 2 . ( 6 ) . ( 4 ) . 3 2

u → - v → 2 = 36 + 16 - 24 3

u → - v → 2 = 52 - 24 3

u → × v → = 52 - 24 3

Agora para a soma:

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 . u → . v → . cos ⁡ 30 °

u → + v → 2 = ( 6 ) 2 + ( 4 ) 2 + 2 . ( 6 ) . ( 4 ) . 3 2

u → + v → 2 = 36 + 16 + 24 3

u → + v → 2 = 52 + 24 3

u → × v → = 52 + 24 3

Passo 4

Agora, encontraremos o ângulo formado entre os vetores u → - v → e u → + v → , utilizando a fórmula do produto escalar.

cos ⁡ θ = u → + v → u → - v → u → + v → . u → - v →

Como: u → + v → u → - v → = u → 2 + u → - v → + v → . u → - v → 2 = u → 2 - v → 2

Temos:

cos ⁡ θ = u → + v → u → - v → u → + v → . u → - v → = u → 2 - v → 2 u → + v → . u → - v →

cos ⁡ θ = 36 - 16 52 + 24 3 . 52 - 24 3 = 20 52 2 - 24 2 . 3

cos ⁡ θ = 20 976 = 20 4 61 = 5 61

Como s e n 2   θ = 1 - cos 2 ⁡ θ , temos:

s e n   θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

s e n   θ = 1 - 5 61 2 = 1 - 25 61 = 36 61 = 6 61

Passo 5

O ângulo formando por u → + v → e ( u → - v → ) é o sen. Assim, temos que:

u → + v → × u → - v → = u → + v → u → - v → s e n   θ

u → + v → × u → - v → = 52 + 24 3 . 52 - 24 3 . 6 61

u → + v → × u → - v → = 4 61 . 6 61

u → + v → × u → - v → = 24

Portanto, a área do paralelogramo determinado por u → + v → e u → - v → é 24 . 😉

Resposta

24

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Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.21. A 1,0 , B 3,6 ,C ( - 1,4 )
Determine a ⋅ b para a =- 2,1 / 3 eb =- 5,12 .
Determine o produto escalar de dois vetores cujas normas sejam respectivamente 6 e 1 3 tal que o ângulo entre eles seja π / 4 .
Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido? Explique. a ⋅ b ⋅ c ( a ⋅b )c a b ⋅ c a ⋅ ( b + c ) a ⋅b+ c a ⋅ b + c
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =3 ,1b =- 2,4 , 3